两角差的余弦公式的不同推导方法

周炳

[摘   要]在学完任意角的三角函数后，接下来就是三角函数的恒等变换，而两角差的余弦公式的推导过程是学习后面三角函数恒等变换的重要基础，两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式及正切公式都是在两角差的余弦公式上变形得来的，所以两角差的余弦公式的证明与推导作为基础公式，得到了广大高中教师與学生的高度关注.引导学生认真体会各版本教材的两角差的余弦公式的推导方法，能提高学生对公式的理解与记忆能力，能帮助学生有效解决恒等变换问题.

[关键词]两角差;余弦公式;推导方法;单位圆;三角函数线

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0036-02

本文主要对不同版本高中数学教材的两角差的余弦公式的推导方法以及笔者在贵州省榕江第一中学的一节公开课中所讲解的两角差的余弦公式的推导方法进行论述.

一、利用三角函数线的定义推导两角差的余弦公式

[反思]“利用三角函数线的定义来推导两角差的余弦公式”这一推导方法学生很难想到，需要画的辅助线太多，但是辅助线画出来以后容易理解. 另外，该推导方法的另一个难题在于，公式都是在角[α、β]均为锐角的情况下进行推导与证明的，所以还需进一步考虑角[α、β]从锐角向钝角以及任意角的推广问题.在实际教学中学生反馈“很难想到该方法”以及“任意角的推广有难度”.

二、利用向量数量积推导两角差的余弦公式

[反思]利用向量数量积的定义以及向量数量积的坐标运算推导余弦的差角公式可以避免烦琐的几何辅助线及对角度范围的讨论.将向量的数量积的概念与坐标运算的两种形式有机结合起来，充分体现了向量在高中数学中的基础作用.在实际教学中，由于我们还没有学习平面向量，因此实际教学起来难度较大.

三、利用面积恒等推导两角差的余弦公式

四、利用三角形全等的方法推导两角差的余弦公式

五、利用两点间的距离公式推导两角差的余弦公式

（特约编辑 安 平）