问题导学·归纳生成·素养提升——“归纳推理”的实录与反思*

徐德明

(江苏省泰兴市第三高级中学 225400)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自于江苏省四星级高中，生源处于中等层次，基础尚可，有一定的问题意识、探究水平和归纳推理能力．

1.2 教材分析

“归纳推理”是《普通高中课程标准实验教科书》苏教版选修2-2“2.1合情推理与演绎推理”第1课的内容．推理分“合情推理”与“演绎推理”，“归纳推理”是“合情推理”的一种．本节课是本章的起始课，要让学生了解推理的含义、构成，了解归纳推理的一般意义，加强对归纳推理的理解与感悟，弄清楚推理的过程．

逻辑推理是高中数学核心素养之一．推理与证明贯穿于整个数学的知识体系，属于数学思维活动范畴．教材在很多教学内容的编排上都采用了先归纳猜想再论证的方法，故学生从小学开始就已经接触了许多归纳推理的事例.本节课对归纳推理集中讲授，目的是让学生从理论上认识这种思想方法，进一步提高其从特殊到一般的归纳能力，提升其逻辑推理的水平．

数学史上有很多著名的数学猜想，诸如“哥德巴赫猜想”“费马猜想”等，数学猜想从某种程度上推动了数学的进步和发展.本节课通过几个实例的介绍让学生了解一代又一代数学家坚持不懈、坚定不移、攻坚克难的探索精神，让学生感悟数学家探索过程的艰辛，培养学生勇于追求、不断思考的科学素养，具有较高的人文价值与精神引领作用．

教学目标 (1)了解推理的含义，理解归纳推理的概念，能用归纳的方法解决一些简单的推理问题；(2)在解决归纳推理实际问题的过程中，体会由部分到整体，由特殊到一般的思想方法；(3)了解数学史，感受数学家探索求知的精神．

教学重点 归纳推理概念的理解和应用．

教学难点 形成从特殊到一般的归纳能力．

2 教学过程

2.1 创设情境 激发兴趣

介绍华罗庚讲的一个故事，边讲边演示．

从一个袋子里摸球，摸出来的第一个球是红玻璃球，第二个球是红玻璃球，第三个球是红玻璃球．

师：大家猜想一下，这个袋子里的东西全部是红玻璃球吗？

生：一定是的.(这时教师从里面摸出的球是白色的，猜想不成立．)

师：大家想一下，这个袋子里的东西都是玻璃球吗？

这时学生回答比较谨慎，有的答是，有的答不一定．让学生到讲台来摸，一个学生摸的是玻璃球，另一个学生摸的是木球，猜想又一次不成立．

师：是不是袋里的东西都是球？

学生短暂沉默，不敢再妄下结论．

设计意图通过数学实验，师生互动，启发学生思考，让学生直观感受归纳推理的过程以及推理结果的不确定性．

2.2 案例推进 形成概念

案例1前提：

当n= 0时，n2-n+ 11 = 11；

当n= 1时，n2-n+ 11 = 11；

当n= 2时，n2-n+ 11 = 13；

当n= 3时，n2-n+ 11 = 17；

当n= 4时，n2-n+ 11 = 23；

当n= 5时，n2-n+ 11 = 31．

师：上面这一串式子有什么特点？

生：11, 11, 13, 17, 23, 31都是奇数，且是质数．

师：同学们想想能推出什么结论？

生：对于所有自然数n，n2-n+ 11 的值都是质数．

师：案例1从前提到结论经历了怎样的思维过程？

生：从特殊的现象到一般性的结论．

师：很好．

案例2前提：矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和．

师：长方体的体对角线有类似的结论吗？如果有，是什么？

生：长方体的体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．

师：案例2从前提到结论经历了怎样的思维过程？(提示学生从特殊与一般的角度进行分析)

生：从一个特殊的结论得到另一个相关的特殊结论．

案例3前提：所有的金属都能导电，铜是金属．

师：铜能导电吗？

生：铜能导电．

师：案例3从前提到结论经历了怎样的思维过程？

生：从一般的结论得到一个特殊结论．

师：请大家完成下面表格，思考3个案例之间的共同点．

前提结论特点类型案例1归纳案例2类比案例3演绎

师生共同提炼出推理的定义：推理就是根据一个或几个已知的命题得出另一个新命题的思维过程，任何推理都包括前提和结论两个部分．

师：请同学们举出几个生活或数学中推理的例子．

生：瑞雪兆丰年、 蚂蚁搬家、 燕子低飞就要下雨等等．

设计意图教材给出的3个案例，分别对应归纳推理、类比推理、演绎推理，既有数学中的例子，也有生活中的例子，目的是让学生从熟悉的生活经验出发，体会推理的基本形式和特点，逐步总结推理的定义，这个过程本身也是归纳推理的过程．

2.3 意义建构 内化理解

继续考察案例1，案例1的特点是从特殊到一般，再看下面几个例子：

例1(观察)蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴是用肺来呼吸的．(特殊)

(概括)蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物． (↓归纳)

(猜想)爬行动物都是用肺来呼吸的．(一般)

在例子分析的过程中，不断渗透蛇、鳄……是几种特殊的爬行动物，用肺来呼吸，得出的结论是所有的爬行动物都是用肺呼吸(一般性)．

例2三角形的内角和是180° =180°× (3-2)；凸四边形的内角和是360°=180°×(4-2)；凸五边形的内角和是540°=180°×(5-2)．(特殊)

(根据)三角形、凸四边形、凸五边形都是凸多边形．(↓归纳)

(猜想)凸n边形的内角和是180°×(n-2)．(一般)

同样，教师在分析的过程中刻意强调凸n边形的内角和的度数与边数n的关系，进而从几个特殊的凸多边形得出所有凸边形的内角和度数公式．

师：案例1和上述两个例子，其推理有什么特点？

生：从特殊的事实到一般的结论．

师生共同提炼归纳推理的定义：从个别实验中推演出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理．

归纳推理的一般模式：

(观察)S1具有性质P，S2具有性质P，……

Sn具有性质P．(特殊)

(概括)S1,S2, …,Sn, …是S类事物的对象．(↓归纳)

(猜想)S类事物具有性质P．(一般)

归纳推理的思维过程：

师：归纳推理的思维过程中，观察是基础，要认真仔细地观察，要在不断的观察中找特点，寻规律，掌握联系与差异，观察变化与趋势．大家再思考一下案例1，你们刚才归纳得出的结论一定正确吗？为什么？

生：不一定！n= 11时结果就不是质数．

师：这说明我们通过归纳推理得出的结果不一定是正确的，还有待进一步的证明．

设计意图从特殊到一般是归纳推理的特点，是学生熟悉的推理方式，这里通过对案例1、例1、例2这3个问题的归纳，目的是为了得出归纳推理的一般形式，而对归纳结论正确与否的论证不是本节课的重点，只需要让学生知道归纳推理结果的或然性．

2.4 经典探究，深化理解

例44 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，10 = 3 + 7 = 5 + 5，12 = 5 + 7，14 = 3 + 11 = 7 + 7，16 = 3 + 13，18 = 5 + 13 = 7 + 11，…．观察上面等式，归纳猜想一般结论．(学生自由发言，教师点评)

设计意图哥德巴赫猜想是近代三大数学难题之一，这个猜想完整地体现了归纳推理的过程 ，具有代表性．这里让学生主动经历“哥德巴赫猜想”的发现过程，使学生充分感受观察实验，发现规律，归纳总结，得出结论的完整经过，增强学生学习的信心，激发其学习数学的兴趣．

师：你们真了不起啊！你们竟然归纳出了大数学家哥德巴赫的一个非常有名的猜想！哥德巴赫(Goldbach, 1690—1764)是一位著名的数学家，1742年哥德巴赫由以上一组等式观察猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和(简称“1 + 1”)．可他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想，于是哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉经过艰苦的证明也未能证明这个结论．1966年，我国数学家陈景润证明了“任何一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”(简称“1 + 2”)，这一结论十分接近哥德巴赫猜想，在国际上被称为“陈氏定理”．虽然经过许多数学家的不断努力，但至今还没有人能完全证明这个命题，在座的各位同学好好努力，证明“哥德巴赫猜想”的任务就由你们来完成吧！

设计意图《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017》)提出“数学教育承载着落实立德树人的根本任务”，通过数学教育“培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养”.这里通过向学生介绍数学家对“哥德巴赫猜想”探究的艰辛历程，让学生了解数学是人类社会不断探索积累才形成的一门学科，感悟数学家探索过程的艰辛和孜孜以求的科研精神，使学生形成文化传承意识，激发学生的探究精神．

2.5 当堂反馈 巩固提升

师：通过前面的几个例题，我们了解了归纳推理的一般方法，下面请大家试试解决下面两个问题吧！

(学生经过独立思考、小组讨论很快得出了结果)

设计意图借助两道数列问题，让学生进一步熟悉归纳推理的意义和特点，掌握归纳推理的一般步骤，也为后面进一步学习演绎推理和数学归纳法埋下伏笔．

2.6 课堂小结 布置作业

对这节课的内容梳理小结：(1)归纳推理具有哪些特点；(2)归纳推理具有什么局限性；(3)归纳推理有什么作用．

在学生小结的基础上，总结：(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的内容；(2)由归纳推理得出的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此它不能作为证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．

作业布置：第66页第3～5题．

设计意图归纳推理基于观察和实验，人们很多重大的发现都是归纳的结果，但要引导学生“推理结论具有多样性”“猜想的结果也未必准确”，从而加深对概念的理解，强调推理的作用．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

根据预设的教学目标，这节课的主要任务是让学生理解推理的含义，掌握归纳推理的特征及一般方法，重点感悟推理的过程，教学的关键是引导学生探索、观察、发现、归纳.学生对归纳推理并不陌生，在生活实际和数学学习中都经常遇到，所以这节课主要解决的问题是对归纳推理的理解和应用，形成从特殊到一般的归纳能力．另外，从数学史来看，很多

重要史实的发现依赖于合情推理，如哥德巴赫猜想、费马猜想等都是通过归纳推理提出猜想，再经过演绎推理给予证明，给学生提供数学史知识，有助于学生的素养提升．

3.2 教学反思

(1)目前高中生学习负担重，压力大，课时多，作业多，个中原因很多，但我认为课堂效益低下是一个重要的原因.现在有些数学教师在数学教学中急功近利，不重视数学概念的教学，掐头去尾烧中段，忽视知识的来龙去脉，缩减思维过程，就会造成思维断层，出现严重“消化不良”，导致学生对知识的表层理解和机械记忆，不能在比较、变化、联系中揭示内涵，数学中的很多结论不能掌握其本质．我们在数学教学中必须重视知识的生成、发生和发展过程.本节课引导学生利用归纳的方式学习归纳推理的含义和过程，而不是简单地模仿归纳推理的形式，从而让学生的认知有了广度和深度．

(2)归纳推理是作为一种思维活动而存在，并不依附于某一段知识或某一个知识点．事实上，教材十分重视对学生逻辑推理能力的培养，学生从小学就开始接触归纳推理的方法，高中教材中又单独开辟一章内容集中讲解“推理与证明”．《课标2017》也提出学生的数学核心素养是“在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的”．教师在教学时应重视知识产生过程中的合情推理，而不能仅是在单独教这一章节内容的时候才给予关注．另外，数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，合情推理和演绎推理是数学活动中不可分割的两部分．证明是后面将要专门学习的内容，在本节课教学活动中，可以通过具体的例子让学生明白归纳推理结果的或然性，培养学生科学的思辨精神，也为后面的演绎推理埋下伏笔．

(3)数学教学是培养人的活动，应该以学生的发展为本，落实立德树人的根本任务，培育学生的科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．教学情境的创设必须符合学生的认知规律；数学建模活动、数学探究活动的开展应该引导学生从类比模仿到自主创新，积累发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯.另外，教师还应该将数学文化融入日常的教学活动中，提升学生的科学精神和人文素养，激发其学习兴趣．