人教A版数学教科书“统计与概率”中的情境设置及启示*

童晓玲 唐恒钧

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

强调数学与现实生活、其他学科间的关联是新世纪以来数学课程改革的一个重要理念[1]．《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称“新课标”)在基本理念中指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．”[2]同时新课标还指明，数学情境的创设要有利于发展数学学科核心素养．因此，基于数学学科核心素养的情境设置的研究成为一个值得关注的问题．

随着现代科学技术特别是计算机科学、人工智能的迅猛发展，人们获取数据和处理数据的能力都得到了很大的提升．统计与概率作为处理数据、进行决策的有效工具，被更广泛地应用到当今社会中．中小学的统计与概率课程也在内容上与现实生活联系得更加紧密，常常是以现实问题为背景，以解决现实问题为目的．[3]因此，对“统计与概率”领域的教科书情境设置的研究也具有了重要的现实意义．

1 研究设计

研究对象 以人民教育出版社出版的高中数学教科书为载体进行分析，主要选取了必修A版第二册中第九章“统计”与第十章“概率”部分的内容，对教科书中的章头语、问题情境、探究、例习题、阅读与思考以及信息技术应用六个部分进行情境设置的研究分析．

分析框架 从以下三个维度对教科书的情境设置进行分析：情境的类型、情境的真实性程度、情境的目标水平．

首先，情境的类型．数学情境是含有相关数学知识和数学思想方法的情境，同时也是数学知识产生的背景，它不仅能激发数学问题的提出，也能为数学问题的解决提供相应的信息和依据[4]．新课标指出,作为体现数学学科核心素养四个方面之一的“情境与问题”，情境主要包括现实情境、科学情境、纯数学情境等．其中，现实情境往往是指与学生个人生活、社会生活及未来职业生活等现实生活相关联的情境；科学情境往往是以物理、化学等其他科学领域的问题作为情境，且与学生生活距离较远；纯数学情境往往是指纯粹数学内部的问题，以数学的概念、命题等作为基本素材，而不具有其他现实生活或科学等类型的情境．

其次，情境的真实性程度．荷兰学者弗赖登塔尔的现实数学思想就强调教学“应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系”，并指出：“只有源于现实关系，寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会如何从现实中提出问题与解决问题，如何将所学知识更好地应用于现实世界．”[5]“基于问题的学习”也强调要将问题设置在具体的、源于或者贴近现实生活的真实情境中．在大数据时代，“统计与概率”这一领域的学习强调的是解决问题的应用性．因此，从这一角度将情境分为真实性情境与非真实性情境(表1)．真实性情境的分析不限于学生熟悉的几类现实生活情境，数学史中真实的数学实验、真实的人口数据统计等也属于真实性情境．[3]

表1 真实性情境与非真实性情境

最后，情境的目标水平．数学教科书设置情境的主要目的是为了更好地发展学生的数学核心素养．新课标根据六个数学学科核心素养的综合表现对学生的学业质量水平进行了具体的描述，并将每一个数学核心素养划分成三个水平．以新课标的上述描述为基础，结合本研究的目标，将教科书中情境的目标水平区分为如下三个层次.水平1：能够在熟悉的情境中抽象出数学概念和规则并解释其含义；了解数学命题的条件和结论之间的逻辑关系；了解运算对象，并且可以结合具体的实际情境解释相关抽象概念.水平2：能够在关联的情境中抽象出一 般的数学概念和规则，确定运算对象和随机现象；能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题. 水平3：能够在综合的情境中发现蕴含的数学关系，用数学的眼光找到合适的研究对象，用恰当的数学语言予以表达；在实际情境中，能够把握研究对象的数学特征，感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想．[2]

2 研究结果

根据以上框架，对人教A版数学教科书第九章“统计”和第十章“概率”部分的情境设置进行分析，得到以下研究结果．

2.1 情境的类型

根据分析发现(表2)，有关统计与概率的两章内容中，现实情境达到145个(占72.5%)，其次是纯数学情境，达到50个(占25%)，而科学情境仅有5个(占2.5%)．

表2 教科书中的情境类型

首先，就现实情境的设置而言，表现出以下方面：一是现实情境的具体类型以社会生活为主，个人生活次之．具体地，与学生个人相关的情境占29%，包括学生的身高、体重、性别、血型、近视情况以及考试成绩等；社会生活情境占57%，包括用水用电量、天气预报、足球赛、满意度调查、掷骰子以及抽球摸奖等；职业生活情境占14%，如销售情况、产品合格率、风险决策以及收入水平等． 其次，现实情境涉及了统计与概率内容的方方面面．新课标认为，概率的研究对象是随机事件，为人们从不同角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法；统计的研究对象则是数据，其核心就是数据分析．因此，立足于学生的统计与概率学习的角度，就需要从现实情境出发，抽象出解决问题的通性通法，再回到现实生活中去解决问题．从情境的角度看，数据的主要来源是客观现实世界，任何数据不仅包含数据、文字、符号、图形等抽象信息，必然还包含了与现实情境有关的背景信息．这些因素都说明在“统计与概率”这一部分内容中现实情境对于学生学习的重要性．再次，新教科书还涉及到信息技术在解决实际问题情境中的应用，这是符合时代发展需要的．例如在给抽样的712名学生进行编号时，可以利用信息技术生成随机数，或者利用电子表格软件去模拟随机实验，统计学生的出生年月等．这种方法最大的优点就是方便快捷，可以帮助学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率．总体来讲，教科书中情境的取材结合生活实际，更具有普遍性与基础性．

另外，相较于数学课程的其他领域，纯数学情境在“统计与概率”领域出现的次数相对较少，主要出现在探究和习题部分．探究部分是通过数学情境去设计数学问题，比如对统计图的识别或者从统计图中提取信息．习题部分主要是出现在证明题和计算题，例如“已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，让我们求交事件、并事件的概率”．

需要说明的是，教科书在探究部分的情境设置上出现了现实情境与数学情境两种情境交织的现象．例如，在“事件的关系和运算”这一节的探究活动中有以下问题：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，从而来定义许多随机事件，如F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”……让我们用集合的形式表示这些事件，同时借助集合与集合的关系和运算，发现事件之间的联系．该探究活动虽然以“掷骰子”这个现实情境切入，但是后面要解决的问题是建立在已有数学抽象物的基础上进行的．

最后，科学情境是出现次数最少的，而且只出现在概率这一章．科学情境涉及物理、生物、地理等学科．例如，在“有限样本空间与随机事件”这一节的例题和习题都出现了以下问题：已知A,B两个原件分别组成串联电路和并联电路，观察两个元件正常或失效的情况．写出试验的样本空间，以及事件M=“电路是通路”包含的样本点．这个情境很好地将数学与物理结合了起来，体现了数学在其他学科的应用．另外教科书在阅读和思考部分还引用了生物学中著名的孟德尔遗传定律，来加深学生对随机模拟概率的理解．要发展学生的数学核心素养、拓展学生的知识面，就应将数学学科知识与其他学科结合，交叉学习，使得各个领域不同知识之间相互启发、互为补充．

2.2 情境的真实性程度

“实际问题既是概率论与统计学的来源又是它们的归宿．”[6]通过对统计与概率两章内容的情境真实性分析发现，真实性情境占48.4%．

表3 教科书中情境的真实性程度

具体到领域内容上，统计部分是非真实性情境大于真实性情境，而在概率部分真实性情境出现的次数更多．教科书中很大一部分情境在呈现数据时都用了“某地”“甲”“乙”“某公司”这一类词语，使得学生的学习与问题情境互动性不强，缺少代入感．因此在设置情境时，还应多采用一些真实性情境以便能更好地引起学生的真实感，使学生沉浸到学习中．例如第九章总复习题部分有这样一个问题：学生通过计步仪器记录下了自己100天每天走的步数，通过数据计算平均数、中位数和标准差并根据数据描述学生自己的运动情况．这样的情境就很贴合学生的日常生活，而且每一位学生都有所体会．在此情境下教学可以更好地培养学生的参与感，体会数据特征，而且可以让学生感受到统计方法在现实生活中的应用．

2.3 情境的目标水平

根据新课标提出的学生学业质量水平，对教科书中三种不同情境的目标水平进行分析，结果如表4．

表4 教科书中情境的目标水平

从表4中可以看出三种情境均达到了学业质量的三种不同水平，只是有所侧重．教科书在情境的设置上，侧重培养学生的前两个水平．在对教科书进行分析的过程中，发现探究还有例题的现实情境设置主要是处于水平1(约占55%)，目的是让学生在熟悉的情境中了解随机现象以及简单的概率或统计问题，掌握基本的统计方法．而课后的练习题大多处于水平2(约占35%)，不管是在熟悉的现实情境下还是通过特意设计的数学情境，主要是让学生可以针对具体问题选择离散型随机变量或者连续型随机变量来刻画随机现象、理解统计意义、解释统计结果、发现统计规律．处于水平3的情境相对较少(约占10%)，主要体现在习题的拓广探索和阅读思考部分．例如统计班里所有学生的鞋号，选择合适的统计图进行描述，分析特点并估计所在学校全体学生鞋号的分布.这是一道估计总体性质的综合题目，用样本空间的数字特征估计总体的数字特征或性质，具有一定的开放性．这可以培养学生针对不同情境问题，综合或者创造性地运用统计知识，构造统计模型解决问题的能力．通过分析，我们可以发现情境在培养学生核心素养的水平上各有侧重，这对以后在教学过程如何更好地利用情境是有帮助的．

3 若干启示

(1)均衡情境的类型.情境的设置要遵循学生的认知规律，体现教学情境的多样性，使得情境既有利于教师的创造性教学，也有利于学生的自主学习．现实情境一般与学生的生活有着密切的联系，可以激发学生的学习兴趣并降低学习难度．统计学作为一门收集、整理和分析统计数据的方法科学，其目的就是探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识．从这个角度来看，教科书情境的设置还应该关注科学情境．一方面可以还原科学实验中数据的收集和处理过程，另一方面也体现了统计学应用的广泛性，加强学生对于这门学科的理解和应用．同时，新课标还明确指出要将数学文化融入到数学教学中去，通过文化情境，将数学文化融入到日常教学中．所以，在“统计与概率”领域还可以加入体现数学文化的情境．

(2)加强情境的真实性.在新教科书的情境设置中，很多数据是模拟真实情境的人为数据，还常常出现“某市”“某公司”“某地”等，难以真正引起学生的共鸣．高中生已经有了一定的知识储备，综合能力有了很大的提高，应该多让学生处理真实数据，感受数学与现实的联系．学生广泛接触真实性情境，能扩大知识面、强化知识活性、增强数据统计意识．

(3)加强情境的目标设置与学业质量水平的匹配性.课标中的学业质量水平是数学学科核心素养的具体体现．需要通过设置不同类型、不同水平的情境，以最自然的方式呈现数学知识，并与学业质量水平标准相匹配．例如，通过与学生生活密切联系的现实情境，让学生了解随机现象和统计问题的基本知识．如果是为了培养统计意识，就需要多创设真实性情境．通过不同目标水平的情境，体现学业水平的不同要求，以使情境功能最大化．