富有趣味：数学课堂教学的一种追求——以“平面直角坐标系”新授课教学为例*

刘东升

(江苏省海安市城南实验中学 226600)

笔者最近参加了一个多学科联合开展的教研活动，其中一位资深语文教研员在评课交流时提到“要上有趣味的语文课”，这引发了笔者的思考.回顾目之所及的一些数学课，那种充满应试味道的“无趣”数学课确实“面目可憎”．数学是一种文化，数学课堂教学也是可以放下“板着的面孔”，深刻理解数学教学内容的特点，精心研发富有趣味的教学设计，带给学生有趣的数学学习生活．本文以“平面直角坐标系”新授课教学为例，概述我们的教学流程，并围绕如何追求富有趣味的数学教学，提出几点初步思考，抛砖引玉．

1 “平面直角坐标系”新授课教学流程

教学环节1 回顾“上一代产品”功能

开课交流：同学们，今天我们这堂数学课将要举行一场“新产品发布会”，我是新产品的代言人，将会向大家推介一款新的数学工具——平面直角坐标系(板书课题)，敬请期待．让我们先回顾上一代产品——数轴，开始今天的发布会．

问题：上学期学习有理数时，我们曾学过一个重要的工具——数轴．请大家回顾一下，对数轴你有哪些认识？

预设：数轴的概念，数轴的三要素(原点、单位长度、正方向)，数轴与相反数的关系，数轴与绝对值的关系，数轴与数的大小比较，等等．在学生回顾的基础上，在黑板上形成图1所示的结构化板书．

图1

教学环节2 推介“新一代工具”特点

过渡语：在同一平面内，我们知道点与直线有两种位置关系，点在直线上或点在直线外．借助上一代产品数轴，我们能解决在同一平面内确定点在数轴(直线)上位置的问题，但是点在数轴(直线)外时如何确定位置呢？下面，我来向大家推介一款新的工具——平面直角坐标系．

接下来教师边讲授边画图：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为横轴(本着数学一贯使用符号化和求简的原则，常常称x轴)，仍然保持七年级时数轴的定义，取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴(即纵轴)，取向上方向为正方向；两坐标轴交点为平面直角坐标系的原点．

建立平面直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分成四个部分，每个部分依次称第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．特别地，坐标轴上的点不属于任何象限．现在就可以研究点在数轴(直线)外的情况了．在不同象限各取几个点，并过这些点分别向x轴、y轴作垂线段，垂足对应的x，y的值分别记为该点的横坐标x、纵坐标y，这些点就可用有序数对(x，y)来表示，即这些点的坐标为(x，y)，注意横坐标在前，纵坐标在后．接下来是对例、习题的讲评与训练．

教学环节3 “新一代工具”的操作使用

例题在平面直角坐标系xOy中，描出下列各点：A(4，2)，B(-2，2)，C(-4，-2.5)，D(2.5，-2.5)，E(0，-4)，F(-4，0)．

教学组织：画图略.教师注意巡视学生画图情况，对画错的图形可以投影到屏幕上，引导大家参与纠错，加深对坐标平面内点的坐标与点的位置之间一一对应的理解．在此基础上预设一些追问：

追问1：连结AB，同学们发现直线AB与x轴有怎样的位置关系？你能由此发现什么规律吗？

追问2：连结CF，线段CF的长为多少？直线CF与两条坐标轴分别有怎样的位置关系？你能由此发现什么规律吗？

追问3：计算△EOF的面积．

追问4：计算四边形BCED的面积．

追问5：有人发现，点B，点D与原点O在同一直线上．你觉得这种发现有道理吗？为什么？

设计意图这一组问题串以追问的方式渐次呈现，引导学生在坐标平面内探究线段与坐标轴的位置关系、三角形面积的计算及三个点的坐标具体满足何种特殊数量关系时恰能共线．因为是平面直角坐标系的起始课，所以这些问题只是以学生简单感知为主，教师不急于给出一些一般化的结论，比如直线CF就是直线x=-4，或BD所在直线就是直线y=-x等．教学的“度”要根据学情相机而定．

教学环节4 课堂小结，完善生成结构化板书

教师小结：上一代产品数轴上的点与实数是一一对应的.类似地，我们在这节课中利用平面直角坐标系研究发现，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反之，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一个点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应．我们也可以说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．通过上述小结，形成并完善得到结构化板书(图2)．

图2

2 让数学教学“富有趣味”

(1)基于教学内容特点，构思有趣的新知导入情境.很多科技新产品的发布会，多是由公司CEO或代言人推介新品，我们选择“新产品发布会”这样有趣的情境激发学生的学习兴趣，并在黑板上板书“新工具推介”．从教学实践来看，学生上课之后听说老师今天要举行一场新产品发布会，平时一向严谨的数学老师竟然要担任新品发布会的代言人，都非常好奇，对这节课的学习内容充满期待．这种有趣的新知导入并不是简单凑热闹、贴标签式的“无厘头”情境导入，而是基于本课教学内容的特点，也是深刻理解数学后的情境选择．从平面直角坐标系的概念来看，它由两条数轴组成，可见本课新知源头在数轴；从数学的维度来看，数轴关注的是一维，平面直角坐标系是二维平面的研究工具；再有，数轴上的点与实数是一一对应的，而坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．这些都表明，平面直角坐标系完全可以看成是数轴更新换代后的新工具：保留旧功能，但新功能更强大．

(2)类比数轴学习坐标系，让新知的学习 更有数学味.通过数轴和平面直角坐标系的对比分析，可以看出它们之间的本质联系，这事实上 也是很多知识链上数学知识的重要特点．在新 知教学与引入时，我们选择从旧知出发，引导学生复习数轴及相关概念，接着推介、定义了平面直角坐标系，让学生看到了一个功能更加强大的数 轴结合的工具，由教师直接讲解与之相关的新的概念(如点的坐标、象限等)．需要指出的是，这个环节没有安排学生开展探究，也是针对数学知识教学的需要，因为这类知识属于“约定”“直接定义”的范畴，没有必要让学生参与探究、发现发明．

(3)从习题走向问题，让例习题教学更有探究味.在这节课的前半程教学中，旧知回顾时的数轴复习安排学生对话，复习数轴及相关概念，之后的新知推介是以教师讲授为主；在后半程例习题教学过程中，为了帮助学生理解新知和新的约定，学生根据点的坐标确定点的位置后，通过一系列问题串引领学生在坐标平面内进行探究，系列问题有效关联了所给的几个点．应该可以看出，这些点的坐标都是经过精心设计的，有利于后续问题串的渐次推进．这种例习题的设计，是从习题走向问题，一字之差，使得例习题的教学更有探究味，避免了让学生进行一题接一题、题题无联系的刷题式训练．