“实际问题—拱桥”教学的数学思考

吴建忠

【摘 要】一些数学知识之间存在着实质性的联系，这种联系不仅体现在相同的内容领域，而且也体现在不同的内容领域。帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。

【关键词】平面直角坐标系;数形结合;认知结构;知识与方法

人教版课标教材九年级下册“26.3实际问题与二次函数”25页的探究3有这样一个问题：图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m。水面宽4m。水面下降1m，水面宽度增加多少？

本题学生根据自身的知识基础、能力水平和解题习惯，自主地建立不同的平面直角坐标系。

根据学生直角坐标系建立的不同以及解释方法的不同，将学生整体的思维活动直观化，展现了学生真实的、独特的思维方式，学生的数学思想方法水平和数学能力结构层次得以充分体现，展示了学生真实的数学能力结构。

现实生活中的实际问题在二次函数这一章中占有相当的比例，教材力求让学生明白“函数来源于现实生活，而又服务于现实生活”这样一个道理。在研究“二次函数”这一数学模型时，一直渗透着“数形结合”的思想和方法。探究3被安排在本章内容最后一节的最后一个探究，足见其价值，充分体现了初中函数教学“螺旋上升”的最高境界！

为进一步完善学生的认知结构，提高学生的数学素养，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，我们常进行如下类似巩固练习：

例：如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m。水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1m）

学生经过慎思后往往选择建立如图所示的平面直角坐标系，如下图所示：

简解：（1）由于抛物线的顶点为（1，2.25），因此设y=a（x-1）2+2.25，又图象过点（0，1.25），所以a=-1，

所以y=-（x-1）2+2.25。令y=0，得x1=-0.5（舍去），x2=2.5。 所以水池的半径至少要2.5m。

（2）因为抛物线形状与（1）相同，所以设y=-（x-h）2+k，将点（0，1.25）、（3.5，0）代入，解方程组得h= ，k=3 ≈3.7。 所以此时水流最大高度达3.7m。

恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法，形成良好的数学思维习惯、增强应用意识、提高解决问题的能力有着重要的作用。选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学认知结构。

止步于此，笔者认为对于发展学生思维的广阔性和灵活性还不够，上述一系列数学问题的解决只是关注了平面直角坐标法在二次函数中的应用。但我们更应注意到一些数学知识之间存在着实质性的联系，这种联系不仅体现在相同的内容领域，而且也体现在不同的内容领域。帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。

后续教学中，拓展类似的问题是很有必要的。例：（2013年福建·龙岩卷，第9题）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（  ）

（A）.  （B）.2  （C）.2  （D）.1

本题运用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定可以求解;运用相似三角形的有关知识也可以求解。笔者认为运用平面直角坐标系法也是一个不错的选择。如图，可根据点的坐标求出直线BP与直线GE的函数解析式，然后求出交点T的坐标，再用两点间的距离公式求出GT的长。

又例：（2014年黑龙江·农垦卷，第28题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D。点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒。

（1）求线段CD的长;

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值;若不存在，说明理由。

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

分析：（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长。

（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式;利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解决问题。

（3）可分三种情况进行讨论：由CQ=CP可建立关于t的方程，从而求出t;由PQ=PC或QC=QP不能直接得到关于t的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于t的方程，从而求出t。

对于（2）、（3）两个问题，笔者认为建立如图所示的平面直角坐标系，可得Q（0，t）。过点P作PH⊥CB，垂足为H（作y轴的垂线也可），利用相似三角形的知识可以求出PH=0.6（4.8-t），CH=0.8（4.8-t），所以P（0.8（4.8-t），0.6（4.8-t））。问题（2）：利用S△CPQ：S△ABC=9：100建立t的方程迎刃而解。问题（3）：CQ=t，CP=4.8-t，运用两点间的距离公式得QP2=〔0.8（4.8-t）〕2+〔0.6（4.8-t）-t〕2。然后分三种情况建立关于t的方程求解即可。这样的解题思路很流畅，一气呵成，可谓心旷神怡。

由此，我们可以看到：利用平面直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来，有利于用代数方法研究几何问题，也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。在义务教育阶段的数学学习中，我们希望学生除了获得必要的数学知识与技能外，还能感悟数学的基本思想，回归数学的本质，发挥数学教学的最大价值。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京师范大学出版社，2012.1

[2]马复，凌晓牧.新版课程标准解析与教学指导（初中数学）.北京师范大学出版社，2012.7

（作者单位：江苏省海门市常乐初级中学）