数列与其他知识综台问题

一、填空题

1.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A，B，C三点共线（该直线不过原点0），则S200=________.

2.已知数列｛an｝的通项公式为an=

3.在等比数列｛an｝中，a1=1，a9=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）·…·（x-a9）+2，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率是________.

4.已知等差数列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列｛an｝前n项的和，则的最小值为________.

5.在数列｛an｝中，a1=1，an+2+（-1）n·an=2，前n项和为Sn，则S100=________.

6.（2019年北京理科卷）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若a2=-3，S5=-10，则a5=________，Sn的最小值为________.

8.已知数列｛an｝的前n项的和Sn=（-1）n·n，若对任意正整数n，（an+1-p）·（an-p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是________.

9.已知数列｛an｝满足a1=1，anan+1=2n，n∈N*.则数列｛an｝的通项公式为________.

10.已知数列｛an｝满足：a1=1，a2=x（x∈N*），an+2=|an+1-an|（n∈N*），若前2010 项中恰好有666 项为0，则x=________.

二、解答题

11.设数列｛an｝的前n项和为Sn，首项为x（x∈R），满足.

（1）求证：数列｛an｝为等差数列；

（2）求证：若数列｛an｝中存在三项构成等比数列，则x为有理数.

12.（2020年常州市模拟卷）已知数列｛an｝的首项为1，Sn为数列｛an｝的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*.

（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求数列｛an｝的通项公式；

13.设数列｛an｝，｛bn｝（n=1，2，3，…）由下列条件确定：①a1＜0，b1＞0；②当k≥2，k∈N*时，ak，bk满足如下条件：当≥0 时，；当时，.

（1）如果a1=-5，b1=9，试求a2，b2，a3，b3的值；

（2）证明：数列｛bn-an｝为等比数列；

（3）设n（n≥2）是满足b1＞b2＞b3＞…＞bn的最大整数，证明：.

14.（2019年上海春季卷）已知等差数列｛an｝的公差d∈（0，π]，数列｛bn｝满足bn=sin（an），集合S=｛x|x=bn，n∈N*｝.

（3）若集合S恰好有三个元素：bn+T=bn，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.