创新问题

一、填空题

1.在△ABC中，sin2A+cos2B=1，则cosA+cosB+cosC的最大值为________.

2.（2020年成都市模拟卷）数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸.（注：①平地降水量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

3.圆x2+y2=4上的一点到直线y=x+b的距离不小于的概率为，则b=________.

4.已知点M，N的坐标都满足不等式组，则的取值范围是________.

6.（2020年张家港市模拟卷）已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意x∈[0，+∞）均 满 足：xf′（x）＞-2f（x）.若g（x）=x2f（x），则不等 式g（2x）＜g（1-x）的解集是________.

8.已知a，b，c为正整数，且存在无数个正整数n，使得an+bn=cn+1成立，则所有满足题意的有序数对（a，b，c）共有________个.

9.已知实数a，b，c满足则b的取值范围是_________________.

10.（2020年苏州中学模拟卷）对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数.若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________.

二、解答题

11.已知点A（-1，0），B（1，0），动点M满足，设其轨迹为曲线C，过点B的动直线l交曲线C于P，Q两点.

（2）求△APQ面积的最大值.

12.设函数f（x）=ax（常数a＞0），g（x）=lnx.

（1）记p（x）=f（x）·g（x），求函数p（x）的极值；

（2）记q（x）=f（x）-g（x），试给出一个x0，使得当x＞x0时，恒有q（x）＞0，并证明.

13.（2020年广州市模拟卷）已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤c，求实数c的最小值；

（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.