方法大PK,运算显神威——圆锥曲线几何性质篇

王思俭

例1（2019年全国I 卷第16题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为________．

小A因为，且，所以，则，联立与，运算很烦琐，解得，由,整理得b2=3a2，所以c2-a2=3a2，即4a2=c2．

c=2．

小B因为，因此A为F1B的中点，于是又因为，所以即OA为线段F1B的中垂线，于是再由双曲线的对称性可知，由于平角知，，因此，所以，所以.

方法大PK

小A 的解法是常规思路，小B 的解法充分利用几何性质，非常简洁．同学们在动笔之前，要认真分析题目条件的特征，再选择合理的运算方法哦．

例2若以双曲线C：的焦点为焦点的椭圆E与直线l：x-y+6=0有公共点，则椭圆长轴长的最小值为_________．

小A根据双曲线的焦点F1(3,0)-，F2(3,0)，设椭圆E的方程为：,将直线方程代入椭圆E方程并化简为关于x的一元二次方程，方程为，利用判别式∆≥0,解得或a2≤9（舍），所以，故长轴长的最小值为．

方法大PK

两种解法都是通性通法，但小B 的解法充分利用椭圆定义和对称性，运算较快．

小B设点F1关于直线l的对称点为A（m，n），根据对称性，求出m=-6，n=3.设公共点为P，于是，故长轴长的最小值为．

敲黑板

你是不是觉得例3 很眼熟，像做过的高考题？直接选B 了？

学习数学不能靠背诵解法和答案，要学会理解、学会思考．

例3（2019年全国卷I 卷第10题改编）已知椭圆C的焦点为F1(-2,0)，F2(2,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为( )

小A根据椭圆的定义和已知条件，求出,AF2=a，，AF1=a．判断为直角三角形，再利用余弦定理列方程，得出．在△BF1A中，根据由余弦定理可得，解得，，故选D．

小B求出AF2=a，判断点A是短轴端点，即OA=b，于是，因此xB=3，，代入椭圆方程求出a2=12，再用勾股定理解得b2=8．

小C设点B在x轴上方，直线倾斜角为，利用圆锥曲线统一定义可得，，，又因为AF2=2F2B，因此，而，所以.又因为AB=BF1，所以3F2B=2a-F2B，即，于是，解得，所以所以.

方法大PK

小A 的方法最基本，但运算量大；小B 的解法以小A 的解法为基础，利用几何直观较快求解；小C的解法既是通法又十分简洁．

例4（2019年全国II 卷第20题）已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

小A利用与椭圆方程联立，求出，于是．再根据OP=OF，求出，所以，即．

小B由于△POF2为正三角形，因此，代入椭圆方程，化简得e4-8e2+4=0，解得，即.

小C根据△POF2为等边三角形，可得在中，，根据椭圆定义可得，于是．

小A由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当：，且，结合椭圆方程，得，又，可得b=4．又，所以c2≥b2，于是，故，所以存在点P．所以b=4，a的取值范围为

小B利用三角换元法，设，于是有，消去θ得，，整理得b4=162，即b=4，故a的取值范围为．

小C由PF1⊥PF2可得x2+y2=c2，设x=ccosα,y=csinα，代入椭圆方程和三角形面积公式，得，且，消去α化简得，故a的取值范围为．

方法大PK

第（1）问的三种解法，前两种是通性通法，运算量大，第三种解法利用平面几何知识和椭圆定义，非常简洁．注意挖掘知识间的内在联系哦！

方法大PK

第（2）问中，小B的解法自然，而且运算简洁，小C在中途换元，这种思维方式值得借鉴．

敲黑板

在求与圆锥曲线有关的一些量的范围或最值时，经常用到圆锥曲线标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系．

求圆锥曲线离心率的方法：①直接求出a，c，求解e；②构造a，c的齐次式，解出e，由a，c的二元齐次方程，转化为关于e的一元二次方程求解；③通过特殊值或特殊位置，求出离心率．.

归纳

运用圆锥曲线几何性质解题的方法主要有：

1.运用圆锥曲线定义求解；

2.在焦点三角形中，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求PF1·PF2，通过整体代入可求其面积，利用正弦定理求离心率等；

3.通过曲线存在范围求离心率或有关量的取值范围或最值；

4.整体思想的运用，如三角换元、设而不求等.