玩转高考题——圆锥曲线几何性质篇

苏玖

高考题（2019年全国III 卷第10题）双曲线C：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为（ ）

点拨本题先求出双曲线的渐近线方程，再求出△POF的顶点P的坐标，然后求解面积即可．△PFO实质是等腰三角形，如果没有指定那两条边相等，请看改编题1．

图1

改编1

双曲线C：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若△PFO为等腰三角形，则△PFO的面积为___________________．

点拨利用分类讨论思想求解，关键是哪两条边相等.如果已知三角形面积能否求双曲线方程呢？请看改编题2.

改编2

已知双曲线C：的右焦点为F，点P在方程为的渐近线上，Rt△PFO的面积为，求双曲线的方程．

点拨由于不知道哪个角是直角，于是利用分类讨论思想求解．如果已知双曲线的渐近线方程，可以求离心率．而几何条件可以由向量相关知识给出，请看改编题3．

改编3

已知双曲线C：的右焦点为F，点P在方程为bx-ay=0的渐近线上，点M为双曲线左支上的动点，满足，且，求双曲线的离心率．

点拨先进行向量的线性运算，化简已知条件．在近几年的全国高考试卷中，平面向量与圆锥曲线整合的试题屡见不鲜，请看改编题4.

改编4

已知双曲线C：的右焦点为F，点P，Q分别在两条渐近线上，若，且．求双曲线的离心率．

点拨本题抓住双曲线的对称性，得出P与Q关于y轴对称，于是，可以判断四边形OFPQ为平行四边形，再利用向量数量积找出a，b的关系，从而求出离心率．OFPQ实质是菱形，给出菱形面积，也可以求双曲线方程，请看改编题5.

图2

改编5

已知双曲线C：的右焦点为F，点P，Q分别在两条渐近线上，若菱形OFPQ的面积为，求双曲线的方程．

点拨本题菱形是四边形与两条渐近线相交产生的．类似地，由圆、抛物线与渐近线相交产生线段长问题，同学们可以自己探索．

答案与解析

原题A．

改编1设，分三种情况：（1）PO=PF，即原题；（2）若PO=OF，则，故；（3）若PF=OF，利用线段OP的中垂线方程为，解之得．故．综上所述，△PFO的面积为或或．

改编2（1）当∠FPO=90°时，由双曲线性质得．又因为，解之得，b=4．（2）当∠PFO=90°时，点P的坐标为，因此，解之得．综上所述双曲线的方程为或．

改编3取OF的中点D，，由题意得，所以，所以点P的坐标为.又，所以，即．所以，故．

改编4因为，所以四边形OFPQ为平行四边形，设，则，于是2x0=c，即，所以．又因为，所以，即，即，所以e=2．

另解：首先判断四边形OFPQ为菱形，于是∠=∠FOPQOP，又因为∠POF与∠QOF互补，所以，即，故离心率为2．

改编5由改编题4 知，OP=2a，FQ=2b，因此，于是．又因为，所以a=1，，故双曲线方程为．

同学们可以试试改编下面的高考题，先不看后面的改编题哦！

小试牛刀

题目（2019年全国II 卷第11题）已知双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点，若PQ=OF，则C的离心率为（ ）

图3

改编题：已知双曲线C：的右焦点为F，曲线E：与渐近线bx±ay=0相交于P，Q两点（分别在第一、四象限），若PQOF=λ，（1）求C的离心率；（2）若，求C的离心率的取值范围；（3）当a≠b时，求E的离心率e0．

（3）当0<λ<1时，；当1<λ<时，.