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具有一般奇异项的Kirchhoff型方程解的研究

2020-07-14王佳钰郑晓霞姚江燕

中北大学学报(自然科学版) 2020年4期
关键词:极小值定理证明

王佳钰, 郑晓霞, 韩 伟, 姚江燕

(中北大学 理学院, 山西 太原 030051)

0 引言及结论

本文考虑如下Kirchhoff型方程

(1)

式中:Ω⊂RN(N≥3)为一个具有光滑边界∂Ω的有界区域,a,b≥0且a+b>0,λ,μ∈[0,+∞],q∈(0,3).g(u),h(x)与f(u)满足如下假设条件:

(h)h∈L2*/(2*-1-γ), 满足h(x)>0,a.e.x∈Ω;

(g)g∈C(R+,R+)并且存在c>0, 使得g(s)≤c(s+s2*-1),s∈R+.

(2)

(3)

c4(‖u‖2+‖u‖2*),

(4)

接下来定义问题(1)所对应的能量泛函

(5)

(6)

近年来, 许多学者针对基尔霍夫问题解的性态进行了研究[1-9].

文献[6]研究了奇异基尔霍夫型问题, 通过极大极小值方法, 得到了解的存在性与唯一性结果. 文献[5]研究了如下的Kirchhoff方程

并采用极大极小值方法, 得到了正解的存在性. 文献[10]通过变分方法得到了具有一般奇异项的Kirchhoff-Schrodinger泊松系统正解的存在性和唯一性.

受到上述文献的启发, 本文考虑问题(1)解的性态, 文献[5]只考虑了三维的情形, 而本文的结果推广到了N≥3的情形.

本文的结论如下:

定理1若a,b≥0,a+b>0,q∈(0,3), 并且假设条件(f), (h)和(g)成立, 那么对任意的λ,μ∈R+, 问题(1)有一个正解且该解为I的一个全局极小值.

1 引 理

为了证明本文的主要结果, 需要如下引理.

‖h‖2*/(2*-1-γ)-c1‖h‖1-c5‖u‖1+q.

(7)

因为1-α∈(0,1),q∈(0,3)且h(x)>0,a.e.x∈Ω, 从而当t>0且足够小时, 可得I(tφ)<0, 也就是说m<0.

由h∈L2*/(2*-1-γ)(Ω), 可知

(9)

根据Fatou引理, 可得

(10)

因此, 由范数的弱下半连续性和式(8)~式(10), 可得

I(u0)≥m,

即I(u0)=m.

2 定理1的证明

令t→0+, 可得

因此, 由Fatou引理和引理2, 可得

(11)

接下来证明u0确为问题(1)的一个解, 即u0满足式(6),

(12)

定义函数Ψ∶R→R,Ψ(t)=I(u0+tu0), 即

由上面的讨论可知,Ψ(t)在t=0时达到极小值. 根据引理3, 可知Ψ(t)在t=0处可微, 且ψ(0)=0, 即

(13)

Ω+={x∈Ω∶u0+εv>0},

Ω-={x∈Ω∶u0+εv<0},

上式表明

(14)

(15)

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