例谈数学应用问题的定义域

李 红 仓万林 (江苏省江阴市要塞中学 214432)

数学应用问题是数学教与学的重要内容之一．核心素养是当前课程改革的关键词之一．数学核心素养体系中的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析都与数学应用问题息息相关．[1]

一般认为，在数学应用问题中建立模型和求解是解决应用问题的核心任务，这当然是对的．李世锜先生认为：“一道数学应用题的叙述中，影响理解的因素可以归纳为以下几个主要方面：(1)已知量、未知量的描述方式和明确程度；(2)各项信息排列的先后次序；(3)关键词语吸引注意力的程度；(4)词语、句法的复杂程度．”[2]其中，第一点就和定义域密切相关，定义域也是实际应用问题中建立模型时必不可少的环节之一．同时，应用问题中的定义域也直接影响后续函数模型的求解，必须引起重视，尤其是在部分定义域呈现方式比较隐晦的应用问题中．我们不妨从以下几个方面分析应用问题的定义域．

1 相关变量的实际意义

解决应用问题时，我们一般从要素角度对定义域进行表征，建立不等式或不等式组来解决定义域问题．对于相关要素的一些显性要求应优先考虑，如人数一般只能为零或正整数，长度也不会出现负值等．

例1(2017届南京、盐城调研二第17题)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600 cm2的矩形纸板

图1

ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(图1)．设小正方形边长为xcm，矩形纸板的两边AB,BC的长分别为acm和bcm，其中a≥b．

(1)当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；

(2)试确定a,b,x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

点评考虑到相关长度表达式，无论是具体数字类型还是含有字母类型，都需从长度大于0入手限制范围，从而确定定义域，注意不能有遗漏．

2 变量的相互制约条件

在应用问题中，如果给出了变量之间的等式或者不等式制约关系，应结合相关量的表达式再压缩定义域.此类定义域问题更容易出差错．

图2

(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)求N-M的最大值及相应的x的值．

点评由于y>x，y用x表示后，再解分式不等式，可以还原明确的函数定义域.这要比直接从相关量的实际意义出发更隐蔽，更要引起重视．

3 抓住主要变量的变化特征

在部分应用问题中，从变量的实际意义或相关变量的关系角度无法明显压缩定义域，这时学生们往往比较纠结，通常明显感到定义域范围太大了，又无从下手分析．此时，不妨从微观角度分析主要变量的变化特征，再变换角度分析其范围．

图3

(1)记PA=f(θ)，求f(θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围；

(2)当开发的三角形区域PAO的面积最大时，求绕城公路AB的长．

点评在原有结构中的角度范围，显然是属于潜伏版的，参考答案的理解上也有一点点的障碍．我们不妨把点P的轨迹单独分离出来分析，问题就水落石出了．

图4

应用问题中的定义域关系到应用问题的建模和最优解的求解，对定义域的分析可以更加有效提升学生逻辑推理、数据分析和数学建模等核心素养，必须引起重视．