古典概型：数学学科德育的重要载体*

陈璐颖 张维忠 (浙江师范大学教师教育学院 321004)

古典概型几乎是世界各国中学数学课程都介绍的内容．这是因为古典概型是概率统计领域最早的研究对象，简单、实用，它和排列、组合等其他数学知识结合在一起，锻炼着学生的思维，绽放着无穷的魅力．[1]《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出“数学教育承载着落实立德树人、发展素质教育的功能”，并将“学生发展为本，立德树人，提升素养”作为课程基本理念．[2]古典概型是数学学科德育和培育学生数学学科核心素养的重要载体，它不仅是对学生进行辩证思想方法教育的良好素材，也是发展学生数学文化意识不可或缺的题材，通过对古典概型的欣赏与应用，还能让学生用心灵去体会数学独特的价值与魅力．

1 对学生进行辩证思想方法教育的良好素材

古典概型源于对现实世界的抽象并与学生日常生活紧密关联，它在生活中的应用处处渗透着动与静、变与不变、数与形、正与逆、一与多等辩证思想方法．下面借助“硬币”来认识古典概型，阐述古典概型是如何具体彰显辩证思想方法的．

抛掷一枚质地均匀且形状规则的硬币，正面和反面出现的可能性一样，都是50%，这是古典概型的对称性.体育赛事中常用这个规律来决定哪方先开球或选场地，甚至人们在生活中遇到难题也有通过抛硬币的方式来解决的．事实上，尽管知道抛硬币出现正面和反面的概率都是0.5，但很多人并不清楚为什么正面和反面出现的概率一样．为了解释这个现象，雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli，1654—1705)等数学家对这个问题进行过实验，验证了随着试验次数的增加，硬币正面朝上的频率在0.5左右摆动．

图1 “正面朝上”频率分布图

这是一个典型的古典概型的例子，它的特点是：实验结果只有有限个，且每个结果发生的可能性相等．因此，容易得出每个实验结果出现的概率是实验结果总数的倒数．在上例中，每次投掷硬币的过程是“动”，出现的结果是“静”；多次试验中出现的结果会“变”，各结果出现的可能性“不变”；实验中频率是“多”，概率是“一”．图1是运用信息技术绘制的正面朝上频率的分布图，借助图形可进一步深化对这些辩证思想方法的认识和理解．

借助古典概型，可以有效地向学生传递一种辩证思想方法，不仅能促进学生对现实世界中事物本质的理解，深化对善恶、祸福、有无、难易、高下、长短、前后等关系和规律的认识，而且有助于学生形成理性思维．除抛硬币外，掷骰子是古典概型在生活中另一个最常见、最简单的例子．对古典概型的深刻理解和掌握，能够有效地帮助学生用数学的思维思考世界，克服“赌徒心理”，懂得三思而后行．

2 发展学生数学文化意识不可或缺的题材

早在20世纪90年代，国内就有学者从文化视野来研究数学与数学教育．[3]数学文化在数学与数学教育中尤其是在培养和发展学生德育方面十分重要，近几年数学文化已经进入高考试卷．古典概型作为发展学生数学文化意识不可或缺的题材，是各地高考试题中的高频考点、热点和难点．以下通过2019年全国卷理科数学中选择题6来加以阐述．

图2

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，图2就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )．

不妨借助美国数学家和数学教育家波利亚(George Polya, 1887—1985)在《怎样解题》一书中提出的解题的思维步骤加以分析和探讨．

第一， 弄清问题．试题背景是我国古代典籍《周易》，该典籍中有一物名为“卦”，它的功能是描述万物的变化，具有不同的类型；其中一种是“重卦”，它由一种名为“爻”的东西组成，可分为阴爻和阳爻两种类型．要解决的问题是在所有重卦中随机取一重卦，该重卦中恰有3个阳爻的概率．关键信息是“3个”“阳爻”“重卦”“概率”，难点在于弄清“重卦”与“阳爻”的关系，具体涉及“重卦”和“爻”的数量和位置关系、“阴爻”和“阳爻”的数量关系．重卦由6个爻从下到上排列，即每个重卦中有六个不同的位置，可分别安放一个阴爻或阳爻．为便于学生理解，试题给出重卦的卦例，位置自下到上分别是阴爻、阳爻、阳爻、阴爻、阴爻、阴爻，共2个阳爻和3个阴爻．

第二， 拟定计划．在理解问题的基础上，可进一步回忆和思索以前是否见过它或见过相同的问题而形式稍有不同；在重新叙述该问题后，能否想出一个更容易着手、类比的问题．在这里，不妨运用类比的思维方式，将问题重新表述为：一张桌子上有6个不同的位置，每个位置上可以摆放一个红球或白球，若随机在6个位置上摆上球，求摆完桌上刚好有3个红球的概率．此处将“重卦”类比为“桌子”、“红球”类比为“阳爻”、“白球”类比为“阴爻”，进而将陌生的问题转化为熟悉的概率问题，只需求出总的可能结果的数量及符合条件的结果数量即可解决问题．结果总数的计算可采用分布乘法计算原理，符号条件的结果数量可采用组合知识，进而求得概率．

第四， 回顾反思．可通过计算重卦中恰有n个阳爻的概率(n=0，1，…，6)验算所得的解，结果如 表1所示．经检验可知，结果正确．在获得结果的前提下，通过回顾反思，可进一步将解决问题的过程和结果一般化．

表1

这道题从数学史和数学文化研究的角度看，在一定程度上挖掘了《周易》中的数学文化，将古典概型同“卦”“爻”等内容相结合，问题解决对学生的认识和理解能力提出了较高的要求，重视对学生数学核心素养的考查，有助于发展学生数学文化意识．

3 通过对古典概型欣赏和运用，让学生体会数学独特的价值与魅力

从《周易》中“卦”“爻”等内容可知，早在三千多年前我国古代就已经有了概率思想，开始运用古典概型，即我国古典概型的产生和运用同占卜、演算等应用密切关联，蕴含着朴素的辩证唯物主义思想．在西方文献中，按照历史发展的脉络，概率论的发展从古典概型到统计意义下的概率，再到公理化的概率论[4]，它的产生与赌博密切相关．对比中西方古典概型相关思想的产生和运用，可以说，古典概型是人类文化的产物，是人类智慧的结晶．因此，在古典概型的教学中要特别重视社会文化因素，培养学生多元文化理解和交流能力．

《周易》分为经与传两部分，记载的是伏羲或周文王所作的八卦和六十四卦．其中，每卦有六爻，符号“——”为阳爻，符号“— —”为阴爻，即六个阴阳符号，通过计算可知“凡一阴一阳之卦各六”“凡二阴二阳之卦各十有五”“凡三阴三阳之卦各二十”“凡四阴四阳之卦各十有五”“凡五阴五阳之卦各六”．通常作卦，都伴随着一种随机试验．例如，抛掷一枚硬币，可规定“正面朝上”为“阳爻”，“反面朝上”为“阴爻”，连续三次进行该试验就有8种不同的结果，可画出八卦图，连续独立进行六次试验，可画出64卦图．这仅涉及《周易》中初级的作卦法，这表明《周易》有深厚的古典概型思想．又有研究表明，据说法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal, 1623—1662)在度假途中偶遇赌徒梅累(Mere)，梅累向帕斯卡提出“分赌注”的问题．梅累表示，他在与赌友掷骰子时，每人各押32个金币，并约定：若梅累先掷出3个6点或其赌友先掷出3个4点，便算赢家．当梅累掷出两次6点、赌友掷出一次4点时，梅累接到通知要他马上陪同国王接见外宾，赌博不得不中断，但就此结束赌局心有不甘，于是决定按已取得的成绩分配这64个金币．对于这个赌金分配问题，帕斯卡和费马都作了解答．

在当前中学数学教学中，常有教师提到古典概型等概率论起源于西方，中国并没有产生概率论．而历史表明，数学是全人类共同的文化遗产，不同民族在不同的社会文化背景下产生了不同的数学思想和方法，这些数学创造都是世界数学之树不可分割的一枝．在古典概型教学中，将我国《周易》《道德经》等经典著作中的古典概型的运用和辩证唯物思想方法充分展示出来，同西方赌博产生古典概型相对比，有助于学生消除民族中心主义的偏见，以更广泛的视野去认识古代中西方文明的数学成就，深化对数学的文化属性的认识，学会欣赏丰富多彩的数学文化，以平等、开放的眼光看待本民族和不同民族文化传统之中的数学成果，梳理正确的数学观和数学学习观，从而实现多元文化观点下的数学教育目的[5]．