主题教学引领的“等差数列的前n项和”的课堂实践与反思

刘 炜 (江苏省苏州中学 215006)

“核心素养”是本次课改的关键词，指新时代的公民必须具备的人格品质及其关键能力，是落实“立德树人”的重要标尺．数学学科的六个核心素养被写进课程目标，即希望能贯穿高中数学教育的全过程．落实课程目标的重要载体和途径是教学，要与传统的以逐个知识点的“了解”“识记”“理解”为目标的教学相区别，其关键在于实施“主题教学”．主题教学设计倡导将教学内容置于主题整体内容中去把控，更多地关注教学内容的本质、蕴涵的思想以及学生素养的培养．[1]如何能让主题教学的理念在一线教学中落地生根？笔者以“等差数列的前n项和”为例谈主题教学在具体课堂中的实践，并加以反思．

1 教学内容分析

教学设计过程通常包括三个环节：前期准备，开发设计，评价修改．前期准备工作是整个教学设计的基础，主题教学设计首先需要对主题内容进行整体分析，包括数学整体分析、课程标准要求分析、学生学习情况分析、内容重点(本质)分析、教材对比分析、教学方式分析等；其次，在此基础上确定主题教学目标.这里需要特别强调的是，主题目标不是每个知识点目标的总合，而是综合提炼，如此更容易体现通识核心素养和学科核心素养的达成程度，这个环节是教学的关键．[2]由此，针对课题“等差数列的前n项和”，笔者着重对以下几个要素进行分析．

1.1 数学整体分析

从数列一章来看，等差数列的前n项和是对等差数列研究的进一步讨论，是数列求和研究的第一个案例，对等比数列求和可能有一定启发性.从函数主线来看，其本质在于研究前n项和这个新数列的通项公式，即属于离散变量的函数模型，从而可以用“图象”描述数列求和变化情况.从课程标准来看，求和可以给定积分的定义和运算奠定基础，也是级数最初级的形态，从而可以走向函数问题研究的高级阶段——微积分．

1.2 课程标准分析

数学课程标准指出：数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具．在教学目标中，要求学生了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体现数学的整体性．[3]在理解等差数列与一元一次函数的联系上，最直接的经验就是利用函数研究等差数列的前n项和，从而得到等差数列前n项和与一元二次函数的联系．

1.3 学生学情分析

在本节课之前，学生已经掌握了数列的概念以及等差数列的定义、通项和简单性质；有研究函数的常规方法，表示函数的基本经验；在初中阶段，对一次函数与二次函数的解析式与图象有深刻的认识；在小学阶段，储备过等差数串、高斯和等内容的活动体验，三角形、梯形面积公式推导的活动经验．在此基础上，对等差数列前n项和的探究活动就可以有丰富的视角进行切入，从不同的维度加以理解．

2 教学过程简述

本节课是苏教版必修5中的内容，在课程标准的框架和主题教学的引领下，以函数为主线来探究等差数列的前n项和，教学设计分成五个环节，即问题、探究、归纳、应用、升华.下面，笔者结合教学实践加以阐述．

2.1 问题：发现问题，提出问题

教师从复习等差数列的定义引入课堂，提醒学生用数学的眼光来看待实际问题，观察教材中钢管堆放的案例，从而发现并提出问题，即研究等差数列的前n项和．

引例图1是一堆钢管的截面图，请计算钢管的数量．

图1

将钢管数量抽象成数字求和，可累加解决.因此教师追问：如何求1+2+3+4+5+6+…+ 2 035的值？在模型相同、数据较多时加以抽象，从而呼唤“公式”以解决一类问题．由此发现并提出问题：

已知{an}是等差数列，求数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an．

教师带领学生分析，在等差数列{an}中，首项a1、公差d是确定的，前n项和随n的变化而变化，因此确立的目标是将Sn写成关于n的函数φ(n)．根据等差数列的通项公式，可以将求和改造为Sn=na1+(1+2+…+(n-1))d.虽然是关于n的函数形态，但不能称为公式，从而将问题转化为研究前(n-1)个正整数的和：1+2+…+(n-1)，为方便记录，可研究前n个正整数的和f(n)=1+2+…+n．

如果将表达式再次还原成钢管堆放的问题(如 图2)，不难发现，f(n)就是毕达哥拉斯研究的第n个三角形数．

评注本环节为“问题”，即引入课题，有两个要素值得思考：其一，从外在形式来看，用什么样的情境是十分关键的．往往有教师为求新求异而创设情境，这时便脱离了教材，因此在“用教材教”时首先要问的问题是“教材创设的情境是什么?目的如何?”，接着追问“它是否体现数学本质？本班学生是否熟悉和理解该情境？自己能否理解和把握该情境？”等问题．[4]据此,选择教材中钢管堆放的问题是最贴近学生生活、最能体现数学本质的．其二，从逻辑本质来看，为什么要研究本课题才是至关重要的．累加适用于简单较少数的求和，一旦数据增多便需要新的方法，这是刺激学生探究的动机，也是本节课研究的逻辑起点，这样的“问题意识”才是真的素养.学会发现问题并提出问题，才能有接下来的研究问题．

2.2 探究：经验意识，模型意识

图3

表1 三角形数

评注常规来说，对于等差数串的求和技术是承接小学的知识，偶数个可以配对、奇数个可以添项或减项，其本质源自前面对于钢管的观察，发现对称项的和相等.这个观点是等差数列求和公式很重要的技术要领，也是人们简便计算的一个主要原因．在本环节中，重点在于让学生学会观察和处理数据.其一，数列的观念是列数，通过列数找规律，这需要学生有较强的归纳意识；其二，模型的建立通过数据拟合，也就是从代数角度出发由对部分的研究去揭示整体数据的特点．这样的处理可以平移到等比数列，再借鉴“裂项”的方案就可以找到“错位相减”的理论依据.从这个角度来说，本节课就实践了“主题教学”的理念．

2.3 归纳：解决问题，推广问题

表2

评注教材使用钢管堆放作为引例，其目的在于让学生观察到“倒序和相等”的现象，从而便于推导出求和公式.本环节中,使用等差数列代数形式上的对称性，从而得到“下标和相等则项的和相等”的性质，再次从几何直观的角度推导求和公式，回应小学时梯形的面积公式．

2.4 应用：运用公式，反思公式

教师在分析两个公式的基础上给出例题，即对新得的两个公式进行简单应用．

变式 (类教材例2)在等差数列{an}中，已知a1=3，an=101，Sn=2 600，求d及n．

这两个问题是简单的，方法是明确的.其后，教师引导学生提出并思考两个问题：

图4

思考2 将例1(2)中的数列制成表3，并转化为图4，即宽度为1的柱状统计图，此时前10项的和就是这些柱形图的面积．你可以联想到物理学中的什么现象？

表3

学生易联想到物理学中匀加速运动中的v-t图象，其面积就是位移．此时教师加以点评，求和从几何角度理解即为研究矩形面积之和．

例2(教材例3改编)在等差数列中，完成如下问题：

(1)第1项到第3项的和为3，第4项到第6项的和为6，求第7项到第9项的和；

(2)第1项到第5项的和为5，第6项到第10项的和为10，求第11项到第15项的和；

(3)第1项到第4项的和为4，第5项到第8项的和为8，求第9项到第12项的和．

在实际教学过程中，由于从思考2得到类比，学生十分容易得到答案，也可以归纳出一般性的结论：已知{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …成首项为Sn、公差为n2d的等差数列．

评注应用如果仅仅落实在公式的选择上，那么就是肤浅的．波利亚曾指出：回顾已经完成的解答是解题工作中的一个重要且有启发性的阶段.由此说来，从解决问题的过程中学会发现问题、提出问题才是具有生长性的．在本环节中，我们不仅通过例题的练习与讲解巩固并重新认识了公式，同时又一次从函数形态的图形特点理解了公式，其中矩形面积之和的问题指向了高等数学中的级数与积分，为未来的学习埋下伏笔，积累经验．

2.5 升华：回顾课堂，拓展课堂

教师引导学生回顾本节课，发现分成两大块：数学建构和数学应用.其中数学建构部分让学生经历发现问题、提出问题、分析问题，解决问题的全过程；数学应用部分在应用知识的过程中又一次让学生经历发现、提出、分析、解决问题．最后留给学生一个拓展问题，即杨辉在《详解九章算法》(1261)提出的“三角垛”：下广，一面十二个，上尖，问：计几何？术文说：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一．答数：364．

评注课程标准要求组织学生收集、阅读数列方面的研究成果，特别是我国古代的优秀研究成果．通过相关问题的提出，首先让学生思考问题如何得以解决，即是否可以通过本节课所得的研究方法去研究该问题；其次让学生去体会古人的表达以及对人类文明的贡献，从而感悟我国古代数学的辉煌成就．事实上，本节课所提出来的“归纳猜测通项”与“类比面积公式”的方法都可以进行移植，也就是从代数与几何角度分别得以解决，从而巩固了思想方法，延展了时间空间．

3 教学实践反思

回顾这堂课的教学实践活动，与传统的教学实践产生了一些分歧，也带来一点思考．本次教学活动在主题教学方面做出了一些探索，也给笔者带来了一些体会，整理如下，以期促进以后的教学活动．

3.1 从知识教学到主题教学

知识点的教学侧重于对知识生成、理解和应用的教学，是孤立的；主题教学设计则不是单纯知识点传输与技能训练的安排，而是教师基于学科素养，思考怎样描绘基于一定目标与主题而展开探究活动叙事的活动，目的是为了创造优质的教学[5]，是整体的．例如，对立足于知识点的教学来说，本节课的教学重点与难点都是发现并使用“倒序相加”的方法推导“公式”，然后利用图形理解公式的两种形态，继而选择合适的公式加以应用．而在主题教学设计引领下，本节课就应该侧重于如何发现并提出问题，即提炼前n项和的概念；如何分析问题，即如何得到公式；如何解决问题，即如何推导该公式．事实上，“倒序相加”是属于等差数列的独门秘籍，不具推广性，而“归纳猜想”“裂项相消”属于数列的基本心法，具有普适性，因此数列的主题教学要侧重于通性通法的探究与使用，以期平移或借鉴到其他问题的研究中，这才能真正做到“教是为了不教”．

3.2 从计数视角到函数视角

计数是基本的活动，函数是抽象的模型，计数形成的数列可以看成函数中一类特殊的分支，这是在课程标准中特别强调的．笔者认为，以函数为主线的单元主题教学让数列的研究得以拓展，不再囿于数列本身的研究方法，而是参考函数主题的研究技术真正实现数学知识与体系的融通．例如传统意义上，观察与归纳数列通项是对于数据形式上的考察与试探的过程，而在函数观念下就可以用数据拟合的思想给离散的数据提供一个参考模型，因此可作出更为理性与科学的猜测；在传统意义上对两个公式的理解是借助梯形面积公式，而在函数观念下就可以用通项作为“一次函数”的对称性来理解求和，也可以把求和理解为“匀加速运动”的位移，从而为将来学习积分与级数提供铺垫．如此，让学生理解到“问题研究”要做到“为目标所用”，即所用方法服务于问题解决；让学生体会到“知识学习”要做到“为未来所用”，即所取形态服务于知识发展．

从知识教学到主题教学是理念层面的，从计数视角到函数视角是实践层面的，两者相互联系，即理念指导实践、实践促进理念．因此笔者认为，在教学过程中，首先要有主题教学理念的引领，思考知识点在知识体系中的位置，然后采用合适的研究方法和呈现方式，体现知识点在知识体系中的作用，如此才能实现主题教学，培养学生素养．