让探究成为一种习惯——以一道向量高考题为例*

朱永厂 (江苏省无锡市辅仁高级中学 214123)

数学探究活动是围绕某个具体的数学问题开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程．具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论．[1]在数学探究过程中，学生既能获得概念与规律，又能掌握研究的方法，形成研究事物所必需的探究能力．本文从一道江苏高考题的微型探究说起，旨在呼吁让数学探究成为一种习惯．

1 提出问题

图1

本题是一道以三角形为载体，以向量运算为目标，以基底法、坐标法、几何法和消元法等为工具，以等价转化思想和数形结合思想为依托的试题，立意深、入口宽．通过对三角形中平面向量数量积的运算、应用和探究，能够培养学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．

2 对问题进行探究

通过对一个典型问题的难点、疑点和关键点进行微型探究，能够发现问题的本质，找到知识间的内在联系，可以培养良好的思维习惯，提高分析问题和解决问题的能力．

2.1 从基底入手，挖掘问题的本质属性

合理地选择基底向量，将所求向量用基底表示，能够使复杂的问题简单化．引导学生利用向量共线定理、向量运算法则、平面向量基本定理和向量的数量积等工具，能够获得满意的解法．

若直接利用平面向量基本定理和向量相等作为工具，可以得到简单的二元一次方程组，从而使问题轻松获解．

·借题发挥：探究典型问题的一般情形

图2

(1)若点P在△OAB(区域Ⅰ)内，则有0

(2)若点P在∠AOB内且在直线AB右上方(区域Ⅱ)，则x> 0,y> 0，且x+y> 1；

(3)若点P在区域Ⅲ内，则x< 0,y< 0；

(4)若点P在区域Ⅳ内，则x< 0,y> 0，且x+y< 1；

(5)若点P在区域Ⅴ内，则x> 0,y< 0，且x+y< 1；

(6)若点P在区域Ⅵ内，则x< 0,y> 1，且x+y> 1；

(7)若点P在区域Ⅶ内，则x> 1,y< 0，且x+y> 1．

2.2 从坐标出发，探究问题的通性通法

坐标是沟通数与形的桥梁和纽带，是平面向量基本定理和向量分解的完美结合，是向量正交分解的结果和体现，是解决向量问题的重要工具．

图3

方法3的运算较为繁琐，能否优化建系的方法使运算简化呢？如果以A为坐标原点建系，可以做到．

图4

·借题发挥：坐标法彰显问题的通性通法

坐标法具有很强的工具性，我们从2018年高考江苏卷第13题的坐标解法可窥见一斑[2]．

试题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．

图5

建坐标系的方法不同，运算量或难易度就有所不同．

2.3 向几何回归，追求解法的简洁美

如果从三角形自身的特点和已知条件出发，通过添加辅助线能使问题轻松、巧妙地获解．

图7

如果从平面几何的平行线分线段成比例或三角形相似的视角去研究问题，可使问题获得更自然的解法．

图8

·借题发挥：追求解法的简洁美

回归问题本源，往往可以获得一个复杂问题的自然、简单的解法．

A.点P在△GAB内

B.点P在△GBC内

C.点P在△GCA内

D.点P与点G重合

图9

3 对数学教学的思考

数学教学必须以学生的主动参与为前提、以培养学生学会学习为目标，教师的教是为了少教，学生的学是为了会学．对于本题的探究，不仅让学生深化了对向量的运算、平面向量基本定理、向量数量积、向量的坐标运算等核心概念的理解，还将这些概念的本质和内涵进行了深度挖掘，让学生得到从“眼中有树木”到“胸中有森林”的升华．基于此，笔者对数学教学有如下思考.

3.1 数学教学重在数学思维

数学教学是思维活动的教学．数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，数学教学要重在研究思考问题的方向和策略．教师对问题的讲解要注重知识的形成过程，要讲相关知识点之间的联系，要讲如何想到的、为什么这样想、条件与目标之间应该如何转化，要把教师之前不成熟的想法、错误的想法和调整后的想法展现给学生，要多讲通性通法，少讲或不讲技巧，要教会学生如何思考[3]．

3.2 数学教学重在数学理解

章建跃博士认为,“数学教学只有建立在理解数学、理解学生和理解教学的基础上，才能使课堂教学达到高效”．理解数学，是课堂教学预设的前提，是知识生成的关键，教师只有理解数学才能挖掘出知识中所蕴含的思想和方法；理解学生，是教师将已有的知识、方法和思想传给学生前要知道学生的现有水平、可能遇到哪些障碍以及如何进行难点突破；理解教学，是教学设计的依据，教学过程是以数学知识为载体的学生的认知过程.教师只有把握住这三个理解才能在学生知识的“最近发展区”设计出好问题．

3.3 数学教学重在数学探究

为了强化学生的理解、促进学生的深度学习、发展学生的核心素养，可以引领学生针对某一问题或问题的某一方面进行自主的微探究活动，帮助学生实现知识建构和能力提升．可以以数学核心概念、典型问题或具有探究价值的问题为载体，将相关的概念、规律、原理、模型等进行整合，创设积极、民主的探究氛围，组织科学、合理的微探究.这种探究立足于点而不是面，其切口小、针对性强、指向性明确、效率高，能高效地助力学生突破知识的重点、难点、疑点和关键点，做到因微而准、因微而细、因微而深，达到促进学生深化数学理解、提高教学质量、发展核心素养的目的．

数学教学重在自主构建，重在恰当的启发，重在关键时刻的唤醒．教师的责任不是灌输，不是死抓学生不放，不是搞题海战术，而是提好问题，是创设积极、民主的探究氛围，是适度的引领，是让学生带着问题走进课堂，通过课堂解决后，又提出新问题走出课堂．