初三数学复习备考应强化微专题研究──以“初中数学常见最值问题的解题策略”为例

(江苏省张家港市南丰中学 215600)

中考既是毕业考试，也是为高一级学校选拔人才的选拔性考试；既重视对学生学习数学知识与技能的过程和结果的考查，也重视对学生在数学思考能力和解决问题能力方面的发展状况的考查．因此，我们在组织学生进行初三数学复习备考时，一方面要着力于初中三年的数学基础知识的复习，帮助学生掌握必要的基础知识和基本技能，特别要注重前后知识的联系，构建必要的知识体系，形 成知识的网络；另一方面要加强对一些重点知识、热点问题、数学思想方法的专题研讨，帮助学生熟练掌握必要的数学解题方法，提高分析问题和解决问题的能力．在进行这些专题复习时，为了关注重点、突破难点、提升综合能力，我们可以围绕重点内容和关键能力开设一些微专题复习课，可以利用具有紧密相关性的数学知识或者方法，也可以结合学生的疑点和易错点整合的、能让学生在短时间内专门解决的问题，设置成活而不空、深而不偏的微专题研究，引领学生做一些简单的学术研究，从而促进学生的深度学习．

最值问题是初中数学中比较常见的问题，这类问题涉及的知识面广，知识之间的联系紧密，题型也比较多，灵活性较强．解决这类问题的能力要求较高，学生比较惧怕，但是这类问题往往是中考命题的热点也是难点.因此，在初三复习备考时，我们有必要对最值问题进行一些微专题研究，帮助学生正确认识最值问题，掌握解决最值问题的方法，积累解题经验，提高解决综合性问题的能力．下面笔者就以“初中数学中常见的最值问题的解题策略”为例，谈一谈微专题研究的实践与思考．

1 设置“两点之间线段最短”为载体的最值问题，熟悉解题思路，掌握解题方法

最值问题大都归结为几何模型和函数模型．几何模型的问题常常与一些基本事实、基本图形、几何定理和法则等知识相联系，题型多样、灵活多变．微专题复习作为大专题复习的补充，常常是积少成多、积小成大，能对大专题的自然生成起到一定的引领作用；大专题的落实需要有针对的、有效的微专题进行渗透与强化．因此，在最值问题的微专题研究中，我们首先设置了以“两点之间线段最短” 为载体的三个不同的最值问题，利用不同的几何变换将它们转化为相同的几何问题，利用“两点之间线段最短”确定相应的最值．通过这样的数学探究活动，帮助学生熟悉解题思路，掌握解题方法，为后续最值问题的研究做好铺垫．

图1

例1如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E是AD上的一点，AE=2．点P，Q分别是AB，BC上的动点，连结PE，将△APE沿PE翻折得到△FPE，连结FQ，QD，则FQ+QD的最小值为．

简析作点D关于直线BC的对称点D′，连结QD′，ED′，则QD=QD′．很明显，当点E，F，Q，D′四点在一直线上时，EF+FQ+QD′的值最小．由于EF=AE=2，QD=QD′，因此只需求FQ+QD的最小值．在Rt△EDD′中，根据勾股定理可得ED′=10，故FQ+QD的最小值是8．

说明利用对称变换将FQ+QD转化FQ+QD′，这是解决几何最值问题最常见的方法，我们必须熟练掌握并能应用自如．在本题中需要注意的是点F不是一个定点，因此，在求解过程中必须将EF+FQ+QD′看作一个整体．

图2

例2如图2，点P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则PA+PB+PC的最小值为．

说明旋转是图形的一种基本变换.通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”的大小不变，使问题获得简单的解决．本例中，问题解决的关键是△BPC绕点C按逆时针旋转60°至△B′P′C后，我们将同一点出发的三条线段PA，PB，PC转化为了首尾相接的折线A-P-P′-B′，并且满足AP+PP′+P′B′=PA+PB+PC．这里的旋转角60°很关键.这样的解题方法很重要，我们应当予以重视．

图3

说明这是我们以前没有见过的题型，联想前面解决过的问题，还是考虑进行转化．由OP∶OB=2∶3，将解题思路往构造相似三角形的方向上引导．这样的数学探究活动值得我们好好深入思考，这样才能积累经验，生成智慧．

2 设置“三角形三边关系”为载体的最值问题，理清解题思路，巩固解题方法

有些以“两点之间线段最短”为载体的最值问题，只需要利用“三角形三边关系”就可以确定其结果．这类问题有以下两种类型：(1)问题中已知两个定点和一个动点构成“三角形三边关系”形成的最值；(2)需要根据问题背景构造一个以“三角形三边关系”求解的最值．在微专题研究中，内容的选择既要注重解决学生学习中的“困惑点”“疑难点”，不能过易也不宜过难，知识和方法不能一蹴而就，要把握好度；又要让学生在课堂上及时巩固所学知识，熟练掌握解题方法，全面提升复习的效果．

图4

例4如图4，在等边三角形ABC中，AB=4，D是AB的中点，点E是BC上的一个动点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△B′DE，连结B′C，则DB′+B′C的最小值为．

图5

简析取AD的中点E，连结OE，BE，则OE=1，BE=2，并且在整个运动过程中，它们的长度始终保持不变．因为OB≤OE+EB，故OB的最大值为3．

说明利用“三角形三边关系”解决的最值问题往往难度并不是很大，图形也相对比较简洁，学生比较容易接受，掌握得比较好．设置这样的两个问题，除了让学生进一步理清解题思路，巩固解题方法外，更重要的是激发学生学习的积极性，促使学生在课堂教学中能主动参与、乐于探究，增强学习的信心和动力．

3 设置“点到直线距离最短”为载体的最值问题，拓宽解题思路，拓展解题方法

在几何模型的最值问题中还有一类问题是以“点到直线距离最短”为载体来设计的，这类问题的难度不会很大，但题型比较新颖，往往会与图形的运动、翻折、相似三角形等知识相结合，其解题方法与前面两类问题的解法不尽相同.因此，在微专题研究中应当重视这类问题，让学生在研究过程中进一步拓宽解决最值问题的思路，拓展和优化解题方法．

图6

例6如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，P是AC边的中点，将一个足够大小的直角三角板的直角顶点放在点P处，将直角三角板饶点P旋转，在旋转的过程中，直角三角板的两直角边分别与线段AB交于点M，N，则MN的最小值为．

图7

例7如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．

说明以上两例分别是以图形的旋转、翻折为背景的最值问题，解题的关键是分析题意，找到变化的量、不变的量以及它们之间的联系，利用几何图形的特殊位置确定变量的最值，对学生的读图、识图、构图的能力有较高的要求．在教学活动中，教师要积极引导学生先独立思考、自主探索，再小组合作、交流补充，最后教师点评、完善解答过程，使微专题研究过程充分且有效，让每一位学生都有收获．

4 设置“与圆的相关知识”为载体的最值问题，强化方法应用，积累解题经验

应用微专题复习可以促进学生的深度学习，从而有利于学生加深对所学知识的理解，强化前后知识的联系，形成清晰的数学知识的网络，获得系统的数学研究方法，提高自身的数学素养．为此，这里设置了两道“与圆的相关知识”为载体的最值问题，让学生在新的几何图形背景下 应用已经掌握的解题方法解决新的最值问题，感悟问题 本质，积累解题经验，切实提高分析问题和解决问题的能力．

图8

例8如图8，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为．

简析由∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，可得∠APB=90°．取AB的中点O，则OP=OA=OB，那么点P在以AB为直径的⊙O上，连结OC交⊙O于点P，此时PC最小．在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，根据勾股定理可得OC=5，从而PC=OC-OP=2．故PC的最小值为2．

图9

例9如图9，AC=1，∠BAC=60°，弧BC所对的圆心角为60°，AC⊥BC．若点P，E，F分别是弧BC，AB，AC上的动点，则PE+EF+FP的最小值为．

简析作点P关于AB，AC的对称点P′，P″，连结P′E，P″F，P′P″，AP，则PE=P′E，FP=FP″，所以PE+EF+FP=P′E+EF+FP″，因此当点P′，E，F，P″在一直线上时，PE+EF+FP最小．

说明解决例8的关键是确定动点P的运动路径；巧妙构造圆，将圆外点与圆上点的线段的最值问题转化为圆中直径最长．在例9的求解过程中，有值得回味的三次转化：一是将△PEF的周长转化为线段P′P″的长；二是将线段P′P″的长转化为AP的长；三是将AP的长转化为AO-OP的长．通过这类问题的研究，旨在提高学生对圆中知识的综合运用能力，以及掌握动态问题静态化处理的解题策略．

5 设置“利用函数思想”解决的最值问题，培养发散思维，完善思维品质

函数最值问题遍及初中数学各个知识的方方面面，同时在我们现实生活中也有着广泛的应用，是初中数学的重要内容之一．这里要研究的是利用函数思想解决一些平面几何中的最值问题，通过设置变量—建立函数—求解最值—解决问题的过程，将几何问题转化为函数问题，让学生进一步认识函数知识的重要性，培养学生的发散思维，完善学生的思维品质．

图10

例10如图10，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一直线上，∠DAP=60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为．(结果保留根号)

图11

例11如图11，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．

说明利用函数思想求解几何最值问题，其优点是通过引入变量后，相关的几何推理就转化成了代数运算，应用函数表达式(或图象)就可以确定相关的最值，学生易于接受、掌握．

苏霍姆林斯基说：“学习如果具有思想、感情、创造、美和游戏的鲜艳色彩，那它就能成为孩子们深感兴趣和富有吸引力的事情．”在初三数学复习备考时，渗透一点微专题研究需要教师深度的学习、深入的研究、精心的规划、合理的安排．通过微专题研究，达到查找漏点、扫清盲点、厘清疑点的目的，促进学生的深度学习，掌握必要的解题方法，切实提高复习备考的实效，让初三复习备考成为师生塑造人生、共同进步的难忘时刻．