不经意间的发现

池晓雯

【摘要】  德国诺贝尔获得者、物理学家冯·劳厄：“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时剩下的东西”。《数学课程标准2011版》也将“使学生获得数学的基本思想”作为数学课程的重要目标，说明数学课程不仅承载着知识、技能，更重要的是应该让学生在经历学习过程中获得数学思想，获得以数学的思维方式观察、思考、分析、解决现实生活问题的能力。可见，让学生获得基本的数学思想方法是数学教学改革的新视角。布卢姆在《教育目标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。 数学转化思想在“图形与几何”教学中是非常重要的思想方法， 是一种有效的思想方法，是数学思想的核心和精髓部分，是数学思想的灵魂所在。学生在学习“图形与几何”这部分内容时可以通过转化思想将不熟悉的图形转化成熟悉的图形来学习，教师在教学“图形与几何”计算公式推导过程中渗透转化思想，在一定程度上可以培养学生的思维、逻辑、推导能力。可见，在数学教学中巧用“转化”，可使问题化繁为简、化难为易、化未知为已知，在不经意间发现解决问题的法宝，是攻克各种复杂问题的思想方法，是课堂教学的策略。

【关键词】  图形与几何 数学教学 转化思想

【中图分类号】  G623.5                【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2020）13-020-02

一、精心设计教学过程，让学生在不经意间掌握数学知识

学生的发展是新课程标准实施的出发点和归宿，课程改革的重点是面向全体学生，以学生为发展的主体，转变学生的学习方式。学生的数学学习是一个主动建构数学知识，形成初步数学思想的过程，在此过程中只有给学生留有充分的思考时间和空间，让学生根据已有的经验，通过观察、推想、类比等手段，把一个实际问题通过某种转化归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题通过转化归结为一个较简单的问题，直至转化为已经掌握或容易解决的问题。其基本形式有化生为熟、化难为易、化繁为简、化整为零、化曲为直，化圆为方，化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体等。在教学中给学生渗透这种思想，有利于提高学生的逻辑思维能力。让学生经历知识的形成过程，在不经意间发现新的数学知识，有助于学生对新知识的建构。这样的构建知识体系，需要教师精心设计教学过程，让学生把未知转化成已知，促使其快速高效地学习新知，而已有的知识就是这个新知的生长点，从而掌握新的数学知识。

例如，三角形面积公式的推导，是建立在学生对平行四边形面积公式的理解、掌握的基础上的。教学时，让学生拿出形状大小完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各2个的学具模型，先拿两个直角三角形，任意拼摆看能摆成什么图形，学生拼出了长方形、平行四边形、三角形，这时我引导学生观察、思考、讨论得出：一个直角三角形的面积等于所拼成图形面积的一半，根据长方形、平行四边形的面积可以求出一个三角形的面积这一结论，再让学生找出这个三角形的底和高与所拼成的平行四边形的底和高之间的关系，从而推导出求三角形面积的方法。接着让学生把剩下的4个三角形任意拼摆，看看能拼出什么图形，能发现什么？学生通过拼摆，发现只有两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形，其中任意一个三角形的底和高都与平行四边形的底和高相等。从而验证了公式的正确性，抽象出任何三角形的面积都是与它等底等高平行四边形的面积的一半，三角形的底就是拼成的平行四边形的底，高就是拼成的平行四边形的高，所以三角形的面积就等于底乘高除以2。在转化完成之后让学生反思“为什么要转化成平行四边形？”。因为平行四边形的面积我们先前已经会计算了，所以，将不会的未知的知识转化成了已经学会了的、已知的知识，从而解决了新问题。在此过程中转化的思想也就潜移默化在学生的心中形成，其他图形的教学亦是如此。转化成为学生在解决问题过程中的内在的迫切需要和思维习惯，学生在操作、思考都将处于主动的状态，对转化的理解更深刻、更透彻，使学生的认知由具体到抽象，从特殊到一般的方向发展。这样，学生就在不经意间掌握了三角形面积的计算公式，也培养了学生观察、思考、分析、解决问题的能力，获得了初步的数学思想。

二、精心设计教学过程，引导学生掌握从具体到抽象的数学转化思想

数学能力的高低取决于数学核心能力的高低，数学思维能力是数学核心能力，而数学思想方法则是数学思维能力的核心，它是伴随学生的知识、思维的发展逐渐被学生所理解和接受的。如果老师在课堂教学中，有意识地挖掘数学思想方法，让学生经历体验数学思想方法的形成、运用的过程，那么学生的数学思维能力就能提高，所谓的数学悟性也就增强。转化思想作为教学中最常用的思想，在小學数学“图形与几何”教学中是教学方法、教学策略，引导着学生形成良好的数学意识和思想，增强学生的抽象思维能力，增强学生思维灵活性，激发他们的创造性，促进学生数学素养的发展。

下面是我在教学六年下册《数学思考》中多边形内角和的一段课堂实录：

【师】：我们已经知道三角形的内角和是180°，那么四边形的内角和是多少？

【生】：360°。

【师】：你们是根据什么说四边形的内角和是360°呢？猜想？推理？

【生】：连接四边形的对角线，分成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°。

【师】：那么五边形的内角和又是多少度？你有什么方法可以求出？

【生1】：可以从一个顶点出发引两条对角线，把五边形分割成3个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是3×180°=540°.

【生2】：可以从一个顶点出发引一条对角线，把五边形分割成一个四边形和一个三角形，所以五边形的内角和是180°+360°=540°.

【生3】：也可以在五边形内任取一点，然后连接五个顶点，形成5个三角形，但从图中可以看出多了一个圆角，所以五边形的内角和是：5×180°-360°=540°.

……

【师】：同学们思维真敏捷，有这么多的想法，但从上面几位同学回答中可以看出在求五边形的内角和时，先从一个顶点出发引五边形的2条对角线，把五边形分割成3个三角形，进而把五边形的内角和转化成求3个三角形内角和的问题，比较简单易懂。

【师】：同学们能不能顺着这样的思路来求出六边形的内角和呢？

【生】：从一个顶点出发引六边形的3条对角线，把六边形分割成4个三角形，那么六边形的内角和是4×180°=720°.

再让学生观察，发现求四边形、五边形、六边形的内角和，都是将它们转化为三角形来求得的，并且求内角和最简便的方法是从它们其中的一个顶点出发引对角线所分得三角形的个数决定的，而三角形的个数又是由这个多边形的边数决定的。

【师】：n边形的内角和是多少度呢？

【生】：从n边形的一个顶点出发引n边形的（n-3）条对角线，把n边形分割成（n-2）个三角形，因此得到n边形的内角和是（n-2）×180°.

通过设疑、引导、猜想、推理、启发学生思维，把学生的思维空间引向更宽更广的层次，形成一个开放的思维空间，为学生今后的发展打下坚实的基础，学生在探索中建立数学模型，建立数学模型是数学学习中不可缺少的，不仅可以为数学的语言表达和交流提供桥梁，而且是解决现实问题的重要工具，在数学学习中帮助学生理解数学学习的意义并解决问题，让学生领悟了把多边形转化成三角形来研究的数学转化思想来解决实际问题的策略。

三、引导学生经历数学知识的内化过程

现代教育心理学研究指出，学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而且也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。授之以“鱼”，只供一餐之需，授之以“渔”，可受用终身。数学课堂教学，比传授数學知识更为重要的是数学思想方法的培养。《数学课程标准》也指出：数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。为学生提供广阔的学习空间，使学生面临问题时镇定自若，并能准确的做出正确的判断，形成解决问题的策略，从而实现问题的最终解决。它是数学的生命和灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化成能力的桥梁。学生发展聪明才智，形成独特个性与创新成果的过程，就是让学生经历知识内化的过程。

让学生经历知识形成的内化过程，才能实现知识增值的最大收益，教学中要求学生运用所学所掌握的知识，去创新求新。例如：在教学《组合图形面积》时，让学生明确求组合图形面积，必须把它转化成学过的基本图形，经探索。学生发现这个转化过程可以经历：分割法、添补法、割补法，从而解决了问题。又如：在“不规则物体体积”的教学中，当用数方块的方法来计算不规则物体体积受到阻碍时，我启发学生能不能将不规则物体转化为规则物体来计算体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。

方法一：用一块橡皮泥，根据石块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体，再量出它的长、宽、高来计算它的体积。

方法二：把这个石块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。

方法三：把石块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个石块的体积就有多少立方厘米。

通过及时掌握转化思想运用的时机，来激发学生思维刺激并引导思维方向，从而让学生将蕴涵于知识中的转化思想彻底领悟。

学生对转化思想方法有了更全面更深刻的理解，学习由被动变成主动，学生在认识和应用数学知识的过程中，获得了自己独立解决数学问题的能力，内化成自己的认知。从而在认知的基础上，发挥自己的才智，

综上可见，在小学数学“图形与几何”教学中渗透转化思想犹如春风化雨，润物细无声，教师将转化思想在不经意间融入到教学过程中，学生的逻辑思维能力将被大幅度的激发，形成自身良好的解决问题的方法。对于复杂的问题，学生会运用转化思想，筛选题目中的重要条件，把已知或未知条件转化变换成显而易见的条件，从特殊到一般分析问题，建立数学模型解决问题，让复杂问题迎刃而解，学生的潜力被充分激发出来，形成良好的创新能力，数学综合素质不断提高。