基于范希尔理论应用Hawgent皓骏软件的数学创课设计

林毅

[摘  要] 几何教学是高中数学教学的重要组成部分. 探讨基于范希尔理论应用Hawgent皓骏软件辅助教学的数学创课设计（以“抛物线及其标准方程”为例），尝试构建“创设情境，直观感知;问题驱动，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性认知;总结提升，内化新知”五大教学环节，并从数学学科核心素养的角度进行评析，以期为优化传统的几何教学提供参考与借鉴.

[关键词] 范希尔理论;数学创课;几何教学;抛物线

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果[1]. 在“互联网+教育”时代，动态数学软件已逐渐成为信息技术融入数学课堂教学、改善传统数学教学的利器. Hawgent皓骏动态数学软件是近年来比较“时髦”的动态数学软件，它不仅界面简洁、操作便捷，还具有数学化、视觉化、动态化呈现数学对象与思维的功能. 范希尔理论是衡量学生几何思维发展的重要理论，它不仅能够有效地指导几何教学，而且对提升学生的几何思维水平有较大的促进作用. 因此，基于范希尔理论应用Hawgent皓骏动态数学软件的数学创课，既可以发展学生的几何思维水平，又可以实现“以形助数”的数形结合思想，从而有效地改善传统几何教学、落实数学核心素养.

范希尔理论概述

范希尔理论是由荷兰中学数学教师范希尔夫妇提出来的，它的核心内容有两个：一是几何思维的五个水平;二是与之对应的五个教学阶段[2]. 其中，几何思维的五个水平分别是——水平0：视觉;水平1：分析;水平2：非形式化演绎;水平3：形式演绎;水平4：严密性. 这一层面的内容主要是对受教育者的几何思维水平以及对教学过程的组织等方面进行系统性的考察. 对应的五个教学阶段分别是——阶段1：学前咨询;阶段2：引导定向;阶段3：阐明;阶段4：自由定向;阶段5：整合. 这一层面的内容主要是对应于几何思维水平的教学环节. 范希尔理论具有以下特性：次序性、进阶性、内隐性及外显性、语言性、不适配性、不连续性. 作为衡量学生几何思维发展的重要理论，范希尔理论不仅揭示了学生的认知发展规律，为学生突破几何学习难点提供了个性化指导，还提供了一个全新的几何教学模式，是教师解决几何教学问题的有效途径.

基于范希尔理论应用Hawgent皓骏软件的数学創课案例

1. 课例的基本背景

（1）教材分析

《抛物线及其标准方程》是高中数学人教A版选修2-1第二章“圆锥曲线与方程2.4”的内容，一般安排两个课时，本节课是第一课时[3]. 从知识层面上来说，本节课时是在学习了椭圆、双曲线的基础上对圆锥曲线进行进一步探索，其重点是理解抛物线的定义、几何图形与标准方程，难点是从变换的角度理解抛物线的四种标准方程;从思想方法层面上来说，从具体问题情境中提炼数学模型，并用代数语言将几何问题转化成代数问题的学习过程，渗透了数形结合的数学思想方法;从教育价值层面上来说，它进一步向学生渗入了曲线与方程的思想，有效地提升了学生的直观想象、数学运算、逻辑推理与数学建模等数学核心素养.

（2）学情分析

抛物线是最常见的圆锥曲线之一，如拱形桥的形状、斜抛物体的轨迹、一元二次函数的图像等，因此学生对抛物线的几何图形有直观的认识. 本节课是在学生原有认知基础上从几何与代数两个角度去全面认识抛物线，符合学生从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律. 学生已经学习了椭圆与双曲线两种特殊的圆锥曲线，能够运用平面解析几何的思想解决一些实际问题，具有一定的观察分析能力与抽象概括能力，基本处于形式演绎的几何思维水平. 但是学生的空间想象力不强，在教学中教师需要充分利用动态教学软件辅助教学，以直观化、动态化的几何图形来激发学生的想象力与积极性. 因此，本节课依据范希尔理论，从学生已有的认知基础与思维水平出发，引导学生通过最近发展区达到掌握新知、提高思维层次的目的.

2. 数学创课的设计过程

基于范希尔理论和本节课的分析，本节创课的设计过程如下：创设情境，直观感知;问题驱动，探究新知;抽象概括，形成概念;全面掌握，理性认知;总结提升，内化新知.

（1）创设情境，直观感知

情境1：生活中的抛物线.

师：数学既来源于生活又高于生活，同学们，在生活中有哪些物体是呈现抛物线的形状？

生：拱桥的形状、彩虹的形状、喷泉的路线、足球射门时的弧线，等等.

情境2：物理中的抛物线.

师：抛物线不仅在生活中随处可见，而且在物理中也是经常研究的对象. 比如平抛物体的运动轨迹是抛物线，在波的共振实验中处于同一位置同频率振动的点源与线源所产生水波的共振点是按抛物线状排列. 为了同学们可以更直观地感受物理中的抛物线，老师在Hawgent皓骏中为大家直观呈现出来（教师利用Hawgent皓骏演示平抛运动及波的共振实验的动态过程，如图1所示）.

情境3：数学中的抛物线.

师：那么在数学中，抛物线是以什么样的形式来呈现的呢？

生：一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是抛物线.

师：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？这就要探讨抛物线的定义及其几何性质了.

设计依据与意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阶段1——学前咨询，即教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师通过沟通了解学生是如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题. 本设计通过创设三个层层递进的情境，并以师生沟通对话的形式引导学生直观感知生活、物理及数学中的抛物线，对抛物线形成感性认识和认知冲突，为下一个阶段的学习打下基础. 在较为抽象的物理情境中，教师借助Hawgent皓骏直观呈现出来，帮助学生积累空间观念的感性经验，并引导学生关注数学与其他学科之间的联系，打破学科界限.

（2）问题驱动，探究新知

问题1：在椭圆、双曲线学习中，我们通过简单的画图工具将其画出来，那么我们是否可以利用类似的工具画出抛物线？

教师做示范，引导学生折纸作图：准备一张矩形薄纸ABCD，在CD的垂直平分线上取一点Z，并将CD均等分成15段，依次记为C，E，F，…，R，D. 过这些点分别作竖直的垂线，将点C对折到点Z，使两点重合，并用力按压产生折痕. 以此类推，把CD中的15个点都对折到点Z，并将所有折痕勾勒出的痕迹描画出来[4]. 学生以同桌两人为小组，合作完成折纸实验，教师巡视课堂，并给予针对性指导. 当课堂上有一半学生完成了折纸实验，教师提出新问题.

问题2：在折纸实验的过程中，涉及了哪些关键元素？比如动点、定点、定直线. 这些关键元素之间有什么关系？

学生以四人为小组，带着问题继续体验折纸的乐趣并思考其中的奥秘，在交流讨论的过程中发现规律. 学生可得出结论：“折痕形成的轨迹是抛物线”“点Z是一个定点”“15个点实际上是一条定直线”“折痕与抛物线相切，切点是抛物线上的点”，等等.

问题3：我们在椭圆、双曲线的“作图实验”中发现了它们的几何性质并得出定义，那么在抛物线的折纸实验中，同学们能发现到抛物线的哪些几何性质？（教师利用Hawgent皓骏演示折纸实验的动态过程，如图2所示，揭示其中的原理，并得出结论：抛物线上的点到定点Z的距离与到定直线CD的距离相等）

设计依据与意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阶段2——引导定向，即教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉所学习对象的特性. 本设计将折纸实验分化为问题链，以螺旋上升的认知方式引导学生探究抛物线的几何性质. 在这个阶段中，教师帮助学生在数学活动中明确探究方向，调动学生的感官与思维，使学生亲身经历知识构建的过程. Hawgent皓骏在该环节中不仅动态地表征了折纸实验中多个关键元素的内在联系，而且将折纸原理从隐匿化为可视，使得数学思维过程清晰化，极大地促进了学生对数学本质的理解.

（3）抽象概括，形成概念

师：通过以上的探究活动，我们知道了抛物线的几何性质，类比椭圆、双曲线的定义方式，同学们是否可以用简练、准确的语言描述抛物线的定义？

通过学生总结、教师点评，得出抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线. 点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

师：在定义中强调l不经过点F，倘若l经过点F会出现什么情况？

师：我们已经用文字语言概括了抛物线的定义，那么用数学语言、图形语言又该如何表示呢？假设M（x，y），求平面内到定点F（0，1）与到定直线l：y=-1距离相等的动点M的轨迹方程.

以此类推，可以根据距离公式得出另外三种标准方程.

师：椭圆与双曲线都是只有两种标准方程，而抛物线却有四种标准方程，四种标准方程是如何变化得来的？（教师同时利用Hawgent皓骏演示抛物线的解析式与图像变换的动态过程，如图3所示，并引导学生建立表格总结变换关系）

设计依据与意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阶段3——阐明，即通过前面的经验和教师最小程度的提示，让学生明确词汇和术语的意义. 在本环节中教师引导学生总结概念，帮助学生纠正习惯措词，体现数学的严谨性. Hawgent皓骏在该环节中有效结合数学语言与图形语言，突出呈现两者的变换关系，有利于学生突破学习难点，对抛物线形成清晰表象及全面認识.

（4）全面掌握，理性认知

师：学习了新知识，你能说明二次函数y=ax2（a≠0）的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.

师：独自完成教材例题及随堂练习，并进行小组互检讨论.

设计依据与意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阶段4——自由定向，范希尔认为这个阶段是自由探索的. 学生在遇到不同作业的时候，寻找解决方法和解决问题的过程中获得了宝贵的实践经验. 教师在设置习题时要注意问题的开放性以及层次性，为不同认知水平的学生提供实践机会，使得学生能够学有所用、学有所成，体验到学习的成就感，找到适合自己的学习方式.

（5）总结提升，内化新知

师：学习完这节课，同学们对抛物线有哪些新的认识？在解决抛物线这类问题中，同学们认为有哪些解题关键？有什么解决方法可以让其他同学借鉴一下？

设计依据与意图：这一环节属于范希尔理论几何教学阶段的阶段5——整合. 经过一系列的学习，教师引导学生回顾所学的新知识以及所用的方法，并将新知识内化到学生自有的知识结构中，形成知识脉络，加深对新知识的理解.

总结与反思

新课标强调：树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程. 基于范希尔理论应用Hawgent皓骏的数学创课设计充分发挥了范希尔理论的理论指导意义和教育信息技术的优势. 从创设情境，让学生直观感知生活、物理和数学中的抛物线，到引导学生通过折纸实验探究抛物线的几何性质，然后学生通过类比等方法得出抛物线的定义及标准方程，再到学生在解决抛物线相关的问题中全面掌握抛物线，一直最后学生回顾与总结新知，并内化到已有的知识结构中，各教学环节环环相扣、层层深入，由特殊到一般、由具体到抽象，与学生的几何思维水平紧密契合;适当运用Hawgent皓骏辅助教学，活灵活现、直观地展示数学对象动态生成的全过程，从而将数学抽象、直观感知和逻辑推理等数学学科核心素养的形成和发展贯穿于整个教学过程.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]  韦爽. 动态几何环境下基于范希尔理论的几何概念教学研究[D].辽宁师范大学，2017.

[3]  中学数学课程教材研究开发中心.新课标高中数学A版选修2-1[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[4]  吕增锋. “同课同构”：给教学注入“工匠精神”——以“抛物线及其标准方程”为例[J]. 中学数学教学参考，2017（28）.