平面向量数量积课堂教学的反思与重构

程仕然

[摘  要] 文章对向量数量积课堂教学中内容衔接问题、物理背景引入问题和如何发展学生抽象素养问题进行反思. 在反思的基础上，重塑概念产生的过程，发展学生数学抽象素养，“落实四基，发展四能”来进行课堂重构，并对课堂教学进行实录.

[关键词] 课堂教学;反思;重构;向量数量积

问题研究缘起

我校特级教师蒋智东老师曾上过一节“平面向量数量积”的公开课，并写了篇实录及反思文章[1]（下称文1），至今仍被同行所津津乐道. 今年笔者在上这节课前，向蒋老师进行了请教和交流.蒋老师认为，新的课程标准更关注数学学科核心素养的形成和发展，更重视学生学习的过程. 所以，上过的那节课还有很多地方需要反思改进，建议重塑概念产生的过程，发展学生数学抽象素养，本着“落实四基，发展四能”来进行重构.

关于本节教学内容的若干反思

针对本节内容，笔者再次认真学习了教材，学习了课程标准.结合蒋老师的文1，重点对向量知识板块的内部衔接及数学文化渗透、物理背景引入、如何培养数学抽象素养等方面进行了反思和研究.

1. 关于向量知识板块的内部衔接及数学文化渗透的思考

文1的“情景创设”部分：

问题1：物理学中，向量的运算比较多，比如求位移、速度、合力的大小等，用到了向量的加法、减法和数乘运算，那么，物理中还有没有其他的向量运算呢？

设计意图：本课通过物理学中的求功运算来创设教学情景，使学生自然提出问题：求功运算与数学知识有怎样的联系？

蒋老师紧扣课程标准，通过向量丰富的物理背景，从位移、速度、合力的大小等实际情境入手，理解向量的概念与运算法则，快速进入主题. 在实际的课堂教学中，这种方式是实用有效的，也是值得学习和借鉴的.

2. 关于教材向量数量积概念的物理背景引入的思考

在实际的教学实践中，向量这一部分内容往往放在高一下学期进行学习，课本上，这节课是以物理上功的运算这一物理模型进行引入展开的. 但这个时候学生物理上对功的学习也是刚刚展开，并且物理课本上是这样介绍功的：用F表示力的大小，用l表示位移的大小，用W表示力F所做的功，……，当力F的方向与运动方向成某一角度（α），……，所以W=Flcosα，这就是说，力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积[2].

用物理背景引入，存在物理学科描述和数学学科描述的符号及说法上的不同.如上面所说，物理中，用“F”表示力的大小，用“l”表示位移的大小，而没有用F和l表示，这在学习之初，多少给学生带来困扰.

3. 关于本节内容在课堂教学中培养数学抽象素养的思考

文1关于数学抽象部分：

问题4从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？

教师指出数学抽象的方向：舍弃抽象原型的物理意义，抽取其中的数量关系.

平面向量的数量积

（1）最初的认识

学生讨论：把力F和位移S抽象地看成两个向量a和b，把力F和位移S的夹角θ看作向量a和b的夹角，就可以得到一种新的运算，它是从向量a，b得到一个数量（即abcosθ）的运算.

（2）进一步表述

引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：

已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量abcosθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=abcosθ.

蒋老师以问题驱动思考，步步深入，从物理“功”抽象出数学平面向量的数量积运算，实现概念的自主建构，也让学生领悟到数学的发展源于实践.这种学习方式是建立在从物理到数学的“联想”基础上的.

我们知道，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养. 主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征[3].

与前面所学的向量运算结果不同，向量的数量积的结果不再是向量而是数量，学生是首次接触像这样运算结果与运算对象不是同一范围的运算. 如果设计一个微探究，让学生自己在熟悉的数学内容中抽象出新的数学内容，让学生充分经历和体验“发现定义”的过程，领悟数学发展的内部需求，不是更能激发学生的探究兴趣和积极性吗？

向量数量积课堂教学重构

1. 向量数量积课堂教学重构的指导思想

（1）重塑概念产生的过程，发展学生数学抽象素养，“落实四基，发展四能”;

（2）多一点数学文化熏陶，多一点数学本质探索，多一点数学素养培养.

2. 重构后向量数量积课堂教学实录

师：同学们，通过前面的学习，我们知道向量兼具“数”与“形”的双重形态，是沟通几何与代数的桥梁. 其实，前面，我们已学习了向量的概念及表示、线性运算和坐标表示，这些内容的产生和发展经历了漫长的时间. 大致可以分为三个阶段：向量1.0原始版：古希腊的亚里士多德已经知道两个力的合成，可以用平行四边形的法则得到，这点向量知识，形成不了多少有意义的问题，只是向量的原始萌芽形态[4]. 向量2.0社会版：牛顿第一次用有向线段表示向量;平面向量基本定理的出现，使得向量可以用两个非零向量进行分解，形成了一簇向量，相当于一个社会. 向量3.0高科技版：當时间进入十九世纪时，哈密尔顿引进新运算，沟通了代数、几何与三角函数，诸多几何问题都可以用向量方法“一揽子”解决了，向量进入了“高科技时代”.

我们将通过下面的学习来揭开“高科技版”的面纱.

师：类比实数运算性质，填写表1，探索向量数量积的运算性质.

教后反思及小结

数学的大厦不是一天建成的，数学知识的生成是有迹可循的，重塑概念产生的过程，更能让学生感受到：数学不是高不可攀，与生俱来的，是与人类生活和社会发展紧密关联的，是承载着思想和文化的.

运算是代数的核心，研究向量的运算也是研究向量的一条主线. 我们可以通过对三角形的数量关系运算问题的微探究，在已有三角知识的基础上进行简单的不算完备的探究，在探究运算中进行新概念的数学抽象，从而实现概念的重塑，达到培养学生数学抽象素养的目的. 这个过程中，学生通过运用基础知识、基本技能、基本思想进行探究，探究的过程中获得基本活动经验. 培养了学生发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力以及解决问题的能力.

参考文献：

[1]  蒋智东. 以问题驱动思考，实现概念的自主建构——“向量的数量积”教学实录与反思[J]. 中学数学月刊，2015（02）.

[2]  人民教育出版社编著. 普通高中课程标准试验教科书物理2（必修）[M]. 北京：人民教育出版社，2016.

[3]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[4]  张奠宙，袁震东. 话说向量[J]. 数学教学，2007（09）.