数形结合在初中几何教学中的应用

何铁佳

摘 要： 在初中数学教学中，数字和图形是有利于教师教学和学生学习的重要因素，把二者结合起来，就是数形结合，利用这种思想来解各种几何问题，比如平面几何的大题。本文主要阐述运用数形结合在初中教学中的作用和应用，把数形二者结合运用到教学中，使之发挥重要作用，达到教学目的。

关键词： 数形结合 图形和数字的转化 几何教学

一、引言

在初中数学教学中，我们应不断地创新，用直接更有效的方法教学，不应一味死板地讲授，教师应该数字和图形之间建立联系，很多数字题都可以用图形加以诠释，这样可以很直观地让学生明白解题思路，把抽象的数字问题转化成简单的图像，能让问题变得更具体，让学生理解得更透彻，领悟得也会更快。近几年的中考中，数形结合类型的问题不断出现，所以教师应加强这方面的练习，让学生融会贯通，加以熟练运用。“数形结合”就是将数字在图形上表现出来，从而运用图形将数解出来，实现二者之间的转化。接下来讨论课堂上的“数形结合”。

二、数形结合的应用

数学中很多问题都很抽象，学生只能够想象，然而，这是很困难的，教师在课堂上如果能够用图形直观地表达讲解，效果就会非常显著，将抽象的问题转化成具体的数学知识，帮助学生有效地加以理解运用，从而提高教学水平。在初中数学中，对于利用二维的平面直角坐标系解答一次函数的问题是很有帮助的，使问题变得简单直接。几何大题中，可以运用图形解不等式，在图形中找到解决问题的办法，比如作一条辅助线，把抽象的图形描绘出来，有助于快速解出问题。这种方法也可以叫“图解法”。

一般来说，代数问题不运用图形也是可以解决的，但用几何中的图形表达会更具体直观，把二者结合，有效转换会更有效果，从而解决问题。在图形的帮助下可以优化解题，接下来举两个例子加以讨论，以华东师大版数学教材为例。

（一）数形结合在三角形中的应用

在三角形这一部分课程的学习中，最主要的是抓住图形之间的关系，通过数与形的结合，更具体地分析各个之间的关系。

案例1：（八年级上册，练习14.1）如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。

这道题通过图形可以很清楚地看到其解法，圆、三角形的半径边长都已给出，先求出以10为直径的半圆的面积，用大面积减去三角形的面积即得出两个圆弧的总面积；再算出两个小半圆的面积之和，用和减去两个圆弧面积和。即为我们所要求的阴影部分的面积。

本题通过“数形结合”的方法，使学生可以清楚自己的解题思路，帮助学生更好地理解，提高学习兴趣，在作图过程中，复习和巩固知识，培养学生的思维能力和动手能力。通过这种数形结合的方法，学生会更加爱数学，增强了求知欲望和学习动力，将数转化到图形上，会更直观易懂。

（二）数形结合在圆中的应用

在与圆有关的位置关系中，各种与圆不同的位置关系中都可以用数形结合的思想解决问题。

案例2：如图，PB为圆O的切线，B为切点，直线PO交圆O于点E，F，过点B作PO的垂直线BA，垂足为点D，交圆O于点A，延长AO与圆O交于点C，连接BC，AF，

（1）求证：直线PA为圆O的切线；

（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明.

分析：

（1）由图形可以看出三角形AOP与三角形BOP是全等三角形，而题中又给出PB为切线，则可以证明出PA也为圆O的切线。根据图可以很清楚地知道一些东西，看出图中的思路，也就有了解决这道题的思路，有图就可以很清楚地解答。

（2）在这道题中也可以先根据图形进行猜测，再证明自己的猜测就会很容易。

在解答这类题时，如果能够灵活运用数形结合思想，就会使问题变得简单化，如果只是一味地用数字或单独的图形解决问题，就会遇到很大的麻烦。采用数形结合，可以生动而形象清楚地看到我们的需求，解决我们的问题。

（三）数形结合在函数关系中的应用

在初中，我们所接触到的函数大部分为正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，在解决函数问题中，数形结合思想通常也是运用最方便的一种解决办法。函数问题不单单是一些代数之间的问题、联系，它通常伴随着一些函数图形的应用，也是通过这些图形提出更多的问题。在函数关系中，更应该注重函数图像各个分段的特征，结合这些特征与所问的问题相联系，从图像中找到突破点，再结合数据分析，数形结合轻松解决问题。

三、数形结合思想应用的意义

数形结合，字面意思就是数与形的结合，遇到难得问题时，通过数形结合的思想可以让问题简单化，也可以使枯燥的数学课堂变得更加有趣，激发学生的学习兴趣，从而轻松地了解并掌握需要掌握的知识。通过数形结合，不仅仅将数与形结合在一起，同样也是抽象与具体的结合，活跃课堂气氛，使学生轻松掌握课堂知识，也培养了学生的抽象思维。

四、结语

在数学教育中，数形结合思想是数学思想中一个重要的组成部分，对数学问题的研究解决起了很大的帮助作用。“数”与“形”原本就是数学中重要的两部分，数与形的结合，两者之间的相辅相成，使数学问题变得简单易懂，把原本枯燥的数字用形象、直观、简单的图形表示出来，使学生的想象思维变得广阔，也提高了学生的分析能力。数形结合思想在数学教育界产生了重要影响，已成为数学工作研究者一大解决思路，以后会更深入。

参考文献

[1]初中数学教材（华东师大版）.

[2]数形结合思想之教学研究.南京师范大学，2004.

[3]巧用数形结合解题.2006.