有效利用例题，提质高中数学的概念教学

沈旭舟

[摘  要] 例题是学生学习概念的重要工具，文章从概念教学的视角出发分析了例题的基本功能，并以“等差数列”为例探讨了例题在概念教学中的具体运用，并结合实践分享了一些思考和体会.

[关键词] 高中数学;概念教学;例题

例题是数学教学的重要组成，很多例题的出现就是为了对数学概念进行解释，提升学生对概念的理解程度，因此在概念教学过程中，教师要妥善使用例题，充分发掘它潜在的功能，提升学生的概念学习效率.

概念教学视角下的例题功能分析

一般来讲，数学课堂的例题有以下功能：介绍新知、引导理解、引领示范、诠释方法、训练思维等功能，上述功能在数学概念的教学过程中也多有体现[1]. 在某个概念引入之后，教学都应该提供一些例题，这些例题将为学生理解概念提供相应的载体，须知例题的“例”这个字，如果以动词来理解，它本身就有“比照”的含义，如果作为名词，它又表示“可以作为依据的事物”，由此可见附在概念讲解后的例题对学生的理解有着示范与引领的作用.

教学教学中一直有这样的说法：“概念不牢，地动山摇”，数学概念的重要性不言而喻，对不少学生来讲，没有学好概念正是他们数学学习举步维艰的重要原因. 数学概念是一种重要的思维形式，是人脑对研究对象的空间形式以及数量关系的本质和特征的一种反映，它有着抽象性、发展性、简洁性等特点，而这些也正是学生数学学习的主要难点，例题则是解决这些难点的重要工具.

数学概念是对某类事物共性特点的反映，这也就决定它脱离了具体层面的事物实体，具有高度的抽象性，在概念教学过程中的，无论是导入还是解释，都需要搭配具体的例题来进行，例题让概念的研究言之有物，让数学研究不再是纯粹的思辨，这也将促成学生对抽象概念的理解. 学生的数学学习过程一直有着发展性的特点，概念学习也同样如此，即随着学生认识的由浅入深，他们对概念的研究将更有深度. 数学教材经常以例题的方式来推动学生的思维，引导学生探索概念的内涵和外延，进而让学生的认知结构逐步完善. 此外，数学概念还有简洁性等特点，它是用最简洁而严谨的语言将事物的数学本质展示出来，很多学生初次接触概念，都会觉得相关内容平淡无奇，教师通过例题引导学生多角度地研读概念，从而让学生能够对概念形成较为全面的认识.

以“等差数列”为例谈概念教学中的例题使用

教学过程中，我们先通过实例让学生认识到等差数列的基本概念，在此基础上通过例题，引导学生逐级深入地探索概念的本质内涵.

1. 在例题探究中感悟概念的内涵

例1：判断下列数列是否是等差数列，如果是，请说明公差，如果不是，请阐明理由.

（1）5，5，5，5;

（2）1，5，9，13，17;

（3）-3，-2，-1，1，2，3.

生：前兩个数列都属于等差数列，公差分别为0和4;最后一个不是等差数列，因为它跳过了一项.

师：讲得不错，请大家再观察一下公差等于0的数列，请说明它有什么特点，请尝试给它取一个名字？

生：公差等于0的数列是每一项都与首项相同，可将其称为常数列.

师：公差大于0的数列又有怎样的特点？

生：这些数列的每一项都比前一项大，呈现为单调递增的特点.

师：那么如果公差小于0呢？

生：应该是单调递减的数列.

师：如果采用函数的方法来研究数列，我们可以将数列的通项公式视为n的函数，从图像特点来讲，等差数列各项所对应的点将呈现在一条直线上，再联系刚才大家所阐述的单调性特征，我们还能按照公差的不同情形来对等差数列分类. （教师板书）

教学思路：在学生刚刚学习了等差数列的概念之后，教师通过例题让学生对不同的数列进行辨析，比对等差数列的概念，从中发现等差数列的一般性特点，并引导学生从函数的角度来对数列进行研究，将函数思想以及数形结合等方法引入数列的概念理解中来，上述教学引领学生循着由特殊到一般的基本认知规律，加深着对函数概念的理解.

教学思路：例题2依然由具体的数列出发，引导学生从特殊情形联想到等差数列中的某些项提取出来组成的数列也属于等差数列，并由此引出等差中项的概念. 上述教学过程中，学生在问题引领下展开思考，教师则结合学生的答案因势利导，对他们提出更具启发性质的提问，指导学生有效把握问题的实质. 事实上，等差中项这个概念没有出现在教材正文部分，只是在习题中出现，但这却是等差数列一个非常重要的性质，教师通过例题引导学生展开讨论，有助于学生在等差数列概念研究过程中对其性质形成更全面的理解.

2. 在例题研究中感受数学概念的合理性

生：这两个数列都是已知首项和末项，需要对中间项求解，其中第一个数列直接用等差中项的概念来处理即可，第二个数列虽然求解内容不够特殊，但我们可以从等差数列的基本概念出发，即每一项和前一项的差值等于公差，那么首项和末项数字已知，它们隔了两项，那么就是三个公差的差距，在此基础上可以计算出公差为-4，因此可以推测b等于-1，c等于-5.

师：讲得很好，刚才在大家讨论时，老师也听到，对于第二个数列，你们有同学在争论首项和末项之间对应几个公差的差距，两项还是三项，对此有怎样更加准确而形象的理解方法呢？

生：可以在数轴上标记出对应的项，然后进行比较就可得出结论.

师：请总结你们刚才的求解方法.

生：先确定数列的公差，随后任何一项的数值都等于前一项加上公差.

教学思路：教师将例题提供给学生之后，要让学生有充分的时间进行思考和讨论，即便学生在展示过程中给出正确的结论，面对学生讨论中暴露出的重要问题，教师也不能放过. 比如上述教学中，学生对数列之间的差值等于公差的几倍发生了分歧，虽然最后他们形成了统一的意见，但是教师依然有必要追问学生，引导他们揭示正确的解决方法. 这样的操作正好也引入了数轴这一形象化的工具，让学生从几何角度对公差形成了更加形象的理解，而且相关结论都是让学生用自己的语言来表达，这也容易让学生更加有效地形成理解.

3. 在例题研究中推动概念的生成

师：请大家讨论如果某等差数列{an}，其公差等于d，其他项是否可以用首项和公差进行表示. （学生讨论，讨论结束后安排学生展示.）

教学思路：作为等差数列的第一节课，如果按照教材上的内容进行教学，内容略显单薄，为此笔者认为教学过程中可以将等差数列的通项公式也拿出来，事实上这也是等差数列概念的基本组成，通过通项公式的研究，可以让学生更加全面地对等差数列的概念形成认识. 正如前文所述，数学概念本身就有着发展性，当等差数列的基本概念出来之后，教师引导学生结合对例题的分析，可由基本概念来完成通项公式的推导和认识也正是概念学习的一个必要组成，这样的处理顺应了学生的发展需要，学生在自主研究和讨论中完成对通项公式的理解，这显然是学生自我生成的必然结果，当然也是教师期待中的结果.

几点思考

针对教学中的实践，笔者认为还有这样一些细节值得引起高中数学教师的注意和思考.

1. 有效重组教材上的例题和习题资源

新的教材使用观一直都强调要改变“教教材”的传统观念，必须要让教材真正成为学生学习和研究的素材. 对教师而言，在任何一次教学设计中都要认真地对教材进行重新开发，对教材上的例题和习题资源进行有效重组.

在上述“等差数列”的教学案例中，笔者从教材的习题中选取素材作为例题指导学生对等差中项进行了研究，此外还结合例题引导学生研究了等差数列的通项公式，这样的处理让本课的教学内容更加丰富，而且相关内容如等差中项、公差的几何意义、通项公式都是等差数列概念的必要延伸，从知识结构的严谨性来讲，我们这样处理更符合学生数学学习的需要.

2. 对例题的质量和数量进行有效把握

例题在学生数学概念学习过程中的重要性不言而喻，但是这不能成为教师胡乱用例题来填充教学的理由，尤其是在对概念内涵进行发掘的时候，教师尤其需要注意，对例题的质量和数量要进行有效把握.

概念课上例题使用一直有“在精不在多”的原则，这样处理可以让课堂教学更加集中，而且例题的典型性与延展性也将在一定程度上发展学生思维的灵活性和深刻性[2]. 比如上述有关等差数列公差的几何意义，教师无需另外找例题来阐述相关事实，直接可以在已有例题的基础上适当讨论即可.

3. 围绕概念教学的需要精选例题

教材上的知识点往往是琐碎的，要让整节课更加流畅，也为了让学生的思维更加顺畅，并能有效建构探索活动的脉络，教师有必要精心选择例题.对任何一个教师而言，他们本身就有大量习题的储备，但是并不是每一个习题都适合充当例题.因此围绕学生概念学习的需要，精选能够有效启发学生思维，并能反映概念本质的例题则显得尤其关键.

数学例题是帮助学生沟通理论研究和灵活运用的重要纽带，也是发展学生核心素养的基本素材. 高中数学教师在教学过程中要充分利用例题资源，将其所具有的功能发挥出来，以提升高中数学教学的效率.

參考文献：

[1]  吴立宝，王富英，秦华. 数学教科书例题功能的分析[J]. 数学通报，2013（03）.

[2]  沈志勇. 论“小题大做”——基于数学抽象能力培养的例题设计与教学[J]. 中学数学，2018（02）.