关于类比思想在初中数学教学中的实践与探索

刘志娟

[摘  要] 文章介绍了类比思想的意义，并以多个例题呈现了类比思想的应用方式，以及渗透类比思想的教学建议，进而增强学生的类比意识，培养学生的创新能力.

[关键词] 初中数学;类比思想;渗透

素质教育要求教师不仅需要传授给学生知识技能，更需要培养他们的思维能力. 类比是合理推理的一种，它也是创新的一种重要手段. 类比的出现为学生研究问题建构了一定的思维框架，找寻到具有创新性的解题方法，架起了知识与方法之间的桥梁，激活了学生的思维. 因此，类比思想的渗透是数学教育的核心内容之一. 事实上，教材中也多处涉及类比思想的教学. 现实教学中，不少教师也有意识地进行了类比思想的渗透，却无法有序系统地进行. 本文将简述类比思想的意义，并结合案例阐述其应用方法，以及渗透类比思想的教学建议，与同仁分享.

类比思想的意义

1. 促进数学的发展

纵观数学发展的过程，每一项重大发现都离不开数学思想的推動与创新，而类比思想在数学发展史中起到了十分重要的作用，如波利亚通过类比法的合理运用从而在学科研究中发挥了其能力;著名科学家牛顿正是类比天体运动和自由落体运动而发现了万有引力;又如著名生物学家达尔文类比植物的自花受精和人类的近亲结合进而得出自己子女病态的根源. 因此，正是在这个意义上，尽管在数学研究方法和手段繁多的今日，类比思想仍然是数学教学与解题中的一种有效手段.

2. 培养学生的创造力

随着新课改的推进，教学已经不再局限于数学知识的传授，学生创造能力的培养已成为教师追求的综合教学目标. 这就要求教师在教学的过程中树立全新的教学理念，有意识地启发学生的求知欲望，充分挖掘数学本质，关注学生数学思想的渗透，致力于学生创造性的培养. 类比思想是孕育学生数学创造的“孵化器”，学生的一个又一个“微创”都源于类比思想. 在类比过程中，学生会主动进行观察、猜想、思维、推理，不断促进新思路的形成，从这个意义上来说，类比思想是一种创新的思想. 在教学的过程中，类比的重要性体现在思维的启迪，从类比中找寻到解决问题的突破口，完善解题路径. 相较于归纳与演绎，类比更有助于创新，当归纳法和演绎法无法突破时，它往往能另辟蹊径，达到“柳暗花明”的境界.

类比思想的应用方式

1. 低维与高维的类比

例1   （1）如图1，已知C，D，E，F为线段AB上的点，试求出图中线段的条数.

（2）如图2，已知OA，OB，OC，OD，OE，OF为过同一点O的射线，试求出图中角的个数.

分析  一般情况下求线段的条数，我们是通过确定一个端点，再确定另一个端点的方法来完成的. 观察图1可以看出一共有6个点，可以确定的线段条数为5条，且每条线段都重复一次，列式为：5+4+3+2+1=15，故共有线段15条. 类比直线中的线段来求平面内的角，也就是每个角的两边对应线段两个端点，从而建构了共同之处，则列式为：5+4+3+2+1=15，故共有角15个. 在给出平面内角的问题时，回忆直线上的线段问题，让类比物呈现得更清晰，更大程度上让类比发生.

因此，在教学过程中宜采用类似问题情境，激活学生的联想，促进类比的发生，从而化难为简，启迪学生的思维，找寻到解决问题的有效途径.

2. 数与形的类比

初等数学可以分为代数与几何，常见的类比有数形结合、函数与图像等. 众所周知，数与形之间的关系是相互依存的，我们在教学中既要启发学生通过“形”来探究“数”，又需引导学生利用“数”来研究“形”.

例2？摇 已知■=■=■=k，试求出k的值.

分析  不少学生在解决本题时习惯性运用等比定理进行求解，而事实上，若从联想两条直线重合这一条件出发进行数与形的类比，则可以使问题得到更好的解决.

据题意，已知条件可以类比为直线ax+by=c①和直线（b+c）x+（c+a）y=a+b②，直线①与直线②重合，①+②可得（a+b+c）（x+y）=a+b+c. 当a+b+c≠0时，可得x+y=1. 它与①为同一条直线，则a=b=c，所以k=■=■，则k=-1或k=■.

3. 有限与无限的类比

数学中经常会涉及有关无限问题的解决，而大部分无限的性质都可由有限问题进行类比而得. 因此，在探究无限情况下的问题时，首先可以想方设法找寻到与之相关的有限问题，然后再将有限情形下的解决方法和结论类比解决无限问题.

例3？摇 证明：正多边形的面积为周长与边心距乘积的一半.

分析  本题可以类比有限情形下，如“三角形的面积为底与高的乘积的一半”这一结论进行求证，从而证实这一结论的正确性. 当然，在解决有限与无限的类比中，由于二者之间存在着本质上的区别，常常会暗藏较多的“陷阱”，如若类比得不够准确，常常会导致错误的发生. 因此，类比可以为数学探究指明方向，但并不是完全的可靠，在进行类比时还需进一步思考类比的合理性问题.

渗透类比思想的教学建议

1. 创设情境，熏陶类比思维

兴趣是学习的内驱力，而有效教学情境的创设是充分激趣的最佳方式. 传统的数学教学，教师往往直接设问，其结果是无法激发学生数学学习的主动性. 其实，教师在进行教学设计时，更多的应该站在问题的源泉处，通过介绍类比的重大作用，如伽利略的抛物实验、计算机的诞生等等，从而激发和鼓励学生大胆类比，使之创造性地发现问题. 只有这样，数学课堂才是有效的.

例如，教学“反证法”，可以引入推理故事“路边苦李”这个人人熟知的感性素材进行类比，为反证法步骤的及时性总结和合理性理解奠定了良好的基础，同时也在一定程度上阐释了反证法的实用价值，使学生对数学倍增亲切感，从而让学生形成创新思路.

2. 创新教学方式，强化类比意识

数学教学的过程也就是经验改造的过程，在类比思想渗透的过程中，教师需通过教学方式的创新，给予学生充足的时间进行思考，让学生积极寻找类比物，在类比的过程中充分发挥自身的引导作用，使学生受到强烈的感染，进一步增强他们的数学意识，体会数学活动的乐趣，从而强化类比意识. 学生在不断地经历大大小小的类比的过程中逐步积淀类比经验，学会数学的思维.

综上所述，类比思想在解决数学问题当中起到了十分重要的作用，较强的类比能力成就了伟大的科学发明，推动了数学的进步和发展. 在初中数学教学中应用类比思想去发现和解决问题的例子比比皆是，因此，我们数学教师需及时捕捉各种类比念头，牢牢把握二者之间的相似之处，在不断地过渡信息和不断地证明中，使其科学化，从而使学生的创造能力在一个又一个的类比实践中得以升华.