复习课堂中的生长数学

朱鸣

[摘  要] 在八年级上学期期末复习教学中，将轴对称、二次根式、一次函数等相关内容一网打尽，充分挖掘其中所蕴含的数学思想方法，借助数形结合的“原动力”、分类讨论的“生长节”、假设方程的“选择器”，作为后续课堂“生长数学”教学的开端，使数学知识和方法在此生根发芽，茁壮成长.

[关键词] 生长数学;复习课堂;勾股定理

生长数学下的价值判断

1.？摇授课对象

本节内容授课对象为某实验初中八年级平行班学生.

2.摇教材分析

所用教材为苏科版《义务教育教科书·数学 》（八年级上册）. 教学内容为 “勾股定理”“勾股定理的逆定理”“勾股定理的简单应用”等相关课程. 如果期末复习只拘泥于以上内容，在这个框框内翻转腾挪，那培养学生创新意识和实践能力的效果不免要打折扣.

3.摇学情分析

学期已步入尾声，学生较系统地学习了“轴对称图形”“勾股定理”“实数”“平面直角坐标系”“一次函数”等相关知识，学生对于以上各独立的知识或许掌握尚可，但若通过某一堂课或紧密相连的几节课将八年级上册所学知识较系统、有逻辑地加以综合，学生会倍感吃力. 基于上述的教材观、学生观、教学观，可以确定下列教学目标及教学重难点.

4.摇目标要求

教学目标：

①了解勾股定理的代数表示和几何意义，能够灵活运用勾股定理解决一些问题.

②通过具体问题，进一步掌握数形结合、分类、方程等数学思想方法，发展合情推理和演绎推理能力.

③回顾本章所学知识和方法，对本章知识进行梳理，使所学知识系统化、结构化，进一步积累数学活动经验.

教学重点：数形结合视角下的勾股定理應用.

教学难点：建构章节知识体系，初步感受在分类思想下使用方程研究问题的一般科学方法.

价值判断下的活动设计

1. 建构知识网络

教师：学期步入尾声，今天这节课，老师想和同学们复习一下“勾股定理”的相关内容（板书课题：勾股定理复习）. 在开始前，我们不妨先热身一下.

问题1：已知，如图1，直线解析式y=-■x+6 与x轴、y轴分别交于点B、点A.

教师：请直接说出A，B的坐标.

学生1：A（0，6）， B（8，0）.

教师：请计算一下A，B两点之间的距离.

学生2：AB=10，由图形中的直角三角形出发，利用勾股定理，直接计算斜边长.

教师：学生2回答的思路十分清晰，那还有其他方法可以求出AB两点之间的距离吗？

学生2：不知道了.

学生3：（举手示意）两点之间距离公式AB=■，代入即可.

教师：计算A，B两点之间的距离，这个距离公式正是源自于勾股定理. 那如何计算点O到线段AB的距离呢？同学们可以花2分钟时间，着手解决一下.

学生4：等积法，距离为■.

教师：学生4反应很快. 我们发现在初中阶段，和两点之间的距离相对照，点线之间的距离问题常使用等积计算来解决.

问题2：已知，如图2，将点B沿平行于y轴的直线向上平移10个单位到C点，在x轴上找一点P，使AP与CP的距离之和最小.

教师：请各位拿出作图工具，在活动单上找出点P，并求出此时的距离和，可以花5分钟来解决问题.？摇（教师巡视，由于时间间隔较久，学生对于利用“小马喝水”这类模型，结合期初“轴对称”章节中的中垂线性质构造直角三角形，利用勾股定理来解决这个问题显得较为生疏）

教师：好，时间到了，有谁能解决这个问题？

学生5：（上台展示）这是一个“小马喝水”问题，关键是找出对称点，然后构造直角三角形，用勾股定理解决.

教师：学生5在帮大家回忆往昔，常规思路，常规操作！那你们能求出此时的P点坐标吗？

学生6：可以使用“一次函数”来解决问题，由确定的两点，解出直线解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，就是P点的坐标了.

教师：学生6提供了一种我们现有水准可以解决问题的方法，十分不错. 今后，随着学习进程加深，此类问题还可以采用其他的方法来解决，例如“相似”.

教师：同学们，以上两个问题有图有真相，然后再使用代数的方式写写算算，如果我们将这两者结合起来看，就是数学学习中的一种基本方法，你们觉得这种方法叫什么？

学生7：数形结合.

教师：（板书：数形结合）言简意赅！

问题3：已知，如图3，x轴上有一动点P，与点A，B构成一个三角形，若AB=10，AP=2■，BP边上的高为6.

教师：请自行作图，求出△ABP的面积.

学生8：（上台展示，只展示了P点在O点右侧的情况）？摇？摇？摇？摇？摇

学生9：还有，还有. （上台展示， P点在O点左右两侧的情况都考虑了）

教师：这个问题蕴含什么数学思想？

学生（齐）：分类思想.

教师：典型的分类思想. （板书：分类思想）世间万事不是非黑即白，我们在今后的生活和学习中要学会全方位、多角度地思考问题，分门别类，有条不紊地解决问题.

问题4：已知，如图4，若点P是x轴上的一个动点，当P运动到∠OAB的平分线上时，求此时点P的坐标.

教师：又来一个求坐标的问题，能用先前的方法解决吗？如果不行，该怎么办？

教师：学生10，能解决吗？

学生10：（摇头）不会.

学生11：（摇头）没有思路.？摇？摇？摇？摇

教师：（提示）在问题陷入“绝境”时，你不妨假设已经找到了这点，在“轴对称”这一章中，你们刚刚用过了“中垂线的性质”那还有什么性质呢？

学生12：角平分线性质.

教师：（微笑点头）

学生13：（上台展示）由角平分线性质知道OP与P到AB的距离相等，构造直角△PHB，利用勾股定理来解决问题.

教师：具体一点.

学生13：我是设OP为x，则BP=8-x，PH=x，BH=4.

教师：（转向班内学生）能理解BH=4吗？

学生13：就是10减去6嘛（向同学解释）.

教师：至此问题解决了. 学生13，这是一种什么数学思想？

学生13：设x.

教师：设x一般是用来干什么的？高大上一点.

学生13：建立方程.

教师：很机灵！（板书：方程思想）一般来说，在着手解决与勾股定理紧密相连的问题时，上述三种思想方法经常出现，频繁使用.

问题5：已知，如图5，若点P是x轴上的一个动点，当P运动到一定位置，使△ABP成为一个等腰三角形，求此时点P的坐标.

教师：今天坐标求得真不少，请同学们对照前后，看一下此问题中P点坐标的求解是否和先前一样？

学生14：好像和上一题类似，但又不尽相同，我觉得要分一下类吧.

教师：怎么分呢？

学生14：我有点忘了……

教师：没事，哪位可以帮一下学生14？

学生15：分别以点A、点B、点P为顶点，在x轴构造等腰三角形，我来画一下吧.

教师：这比空对空讲要直观和具体.

学生15：（边画边讲）先以点A为顶点，左侧对称就可以了，再以点B为顶点，左右两边都行的.

教师：大分类下小分类，套路深啊！

众生：（笑）

学生15：再以点P为顶点，作高以后就回到第2个问题了.

教师：具体一点.

学生15：中垂线性质，当？摇AP=BP时，在直角△AOP中，可以使用勾股定理来处理.

教师：具体的数学思想是什么？

学生15：用方程思想来解决.

教师：一个问题，三种思想方法均有呈现.

……

2. 典型问题拓展

问题1：如图6，若点P从原点开始沿x轴向右运动，速度为每秒一个单位，设运动时间为t，当t<8时，先画出△ABP中AP边上的高;当高为6时，求出垂足Q点的纵坐标.

问题2：如图7，在等腰三角形ABC中，底边长16，腰长10，若点P沿x轴从点C开始向点B运动，速度为每秒一个单位，设点P的运动时间为t，请研究当t为何值时，点P和顶点A的连线与腰垂直？

3. 全课小结，布置作业（略）

活动设计下的教学思考

复习课容易上成新授课的再现，如同鸡肋;复习课也容易上成习题课的翻版，味同嚼蜡. 但复习课的重要性不言而喻，尤其在期末复习阶段. 课程标准中的“让学生获得良好的数学”“要教给学生有生长力的数学”“复习课也要为学生成长助力”等理念早已深入人心，那么，如何利用好复习课？如何通过复习相关内容，使课程纲举目张，前后贯通呢？这是一个值得思索的问题. 而勾股定理作为初中数学中的一个重要定理，在八年级上学期期末復习教学中，完全可以依靠这个知识节点，将轴对称、二次根式、一次函数等相关内容一网打尽，并且能充分挖掘其中所蕴含的数学思想方法，以此作为后续课堂“生长数学”教学的开端，使数学知识和方法在此生根发芽，茁壮成长.

1. 数形结合“原动力”

卜以楼教授将代数和几何分别归纳为“式结构”和“形结构”的学科，其关注的焦点是代数中的数量关系和几何中的位置关系的相互联系和相互转化. 以上面的问题为例，在几个问题解决的过程中，我们发现，可以借助图形，然后通过代数计算的方法进行研究，我们将其中蕴含的思想称之为数形结合思想. 那么，初中数学中第一次出现数形结合的地方在哪里呢？答案很简单，数轴就是学生第一次接触到的图形与数量的结合，只不过当时学生可能并不太在意. 随着学习进程的深入，数量关系和位置关系结合的知识点不断呈现，中点、角平分线、无理数、勾股定理等，乃至到数与形完美结合的工具——平面直角坐标系. 借助于这样的工具，我们可以将距离公式（式结构），完美地利用勾股定理，展现成横平竖直的直角三角形（形结构），实现数学学习的直观化和简约化，并能为今后高中数学中的平面向量和物理中的受力分析打下坚实的基础. 小小距离，充满着初生的“原动力”，向着未来生长.

2. 分类讨论“生长节”

“数学是思维的体操”，我们知道数学可以训练一个人的逻辑思维能力，而逻辑思维需要严密性和完备性. 那么，如何进行思维训练呢？“从现代很多的认知心理学角度来说，分类的能力也是衡量婴幼儿智力的一个标准. 所以，区分类别对于婴幼儿的思维发展甚是重要. 无论对小孩长大之后的学习推理能力、辩论能力还是数学学习能力来说，从小掌握分类对这些的影响是很大的. 因此，在婴幼儿早期教育阶段如果让孩子们学会正确分类，其实在一定的程度说是可以培养孩子的思维能力的. ”但是学生在幼儿期往往对人对事只能进行简单分类，以孩童的视角看问题，非好即坏，非此即彼. 但我们知道万事万物并不像简单的一枚硬币只有正反两面. 所以，初中数学学习，贯穿着分类的思想，并且是从简单分类发展到复杂分类. 正如卜教授提出的“道是认识事物的方法论，术就是实践过程中的方法”. 通过类似方法的浸润，对照不同的标准，让学生全方位、多角度地思索，实现 “以道驭术”. 从课堂中历练的观察、分析、解决问题的“生长节”，枝繁叶茂，可以继续生长到情感、态度、价值观的层次.

3. 假设方程“选择器”

“学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的能力，另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力，这两者之间的差异就是最近发展区. ”对于问题5而言，学生能很自然地分别以点A，O，B为顶点构建等腰三角形，有直观的相等，符合一般由简到难的认知规律，契合学生发展的第一种水平. 而对于“线段垂直平分线的点到线段两端距离相等”这个性质，虽然本课前面曾经出现过，但是仍然和问题4的“角平分线上的点到角两边距离相等”性质一样，学生抓不住问题的本质. 在由“形结构”到“式结构”的转换过程中，忽视了隐藏的相等. “方程是刻画现实生活中相等关系的有效模型”，通过分析和引导，对于问题4中AB边上的对称点和问题5中x轴上的第4个P点，利用相等关系，构建直角三角形，然后使用勾股定理来求解，实现知识和方法的生长，同时使学生达到第二种水平. 事实上，分析方程思想，按照卜教授的观点，其本质是一种假设思想，是一种尝试的想法. 学生的选择是一种试错，既然无法一眼洞穿，那么可以用不同的假设去验证它. 在种种备选方案中，选简选优，进而加以决策，这也符合学生的认知规律，打通知识的联系，培养学生的迁移生长能力.

“生长数学是前后一致的、逻辑连贯的、一以贯之的数学”，是充满着“原动力”，布满着“生长节”，铺满着“选择器”的数学. 在复习课堂中，用全景式的构架来统领全局、纵览前后，对知识和方法的生长大有裨益，进而可以推广到其他类型的课程中，从而使每个学生茁壮成长！