基于关系建构的初中数学讲题教学策略

【摘 要】 讲题教学作为一种普遍的、高频的、重要的教学方式，是提高学生解题能力的重要路径.现实教学中常常出现学生听的懂，却不会独立求解，教师反复讲，学生依然错误不断的现象.初中数学教师对讲题教学认识不足，研究不够深入，存在讲题教学困惑.文章从关系建构与讲题教学的理解、讲题教学的策略、讲题教学的基点等方面阐述讲什么、怎么讲，结合教学案例，探讨提高讲题教学效益的有效路径.

【关键词】 关系建构;初中数学;讲题教学;教学策略

在初中数学教学中，教师的很多时间用于讲例题、讲习题、讲试题等，师生在数学课堂上的大部分时间都在与数学题目进行“交流对话”，教师的任务就是通过讲题教会学生解题.讲题教学作为一种普遍的、高频的、重要的教学方式，在教学实施中仍然存在一些问题.从学生层面看，课上听的懂，课后却不能自主完成解题.从教师层面看，题目讲了好多遍，感觉讲的很到位，学生却学不会，依然错误不断.因此，有必要对讲题教学进行重新审视，深入思考讲什么、怎么讲.

1 关系建构与讲题教学

关系是指事物之间相互作用、相互影响的状态.数学是研究数量关系和空间形式的科学[1].数和形是数学研究的两个主要方面，数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变.一般情况下，我们把数及其关系的研究划为代数学范畴，把形及其关系的研究划为几何学范畴.代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程的数学分支，而几何则是研究空间图形的形状、大小和位置的相互关系等.通俗地说，学生数学学习的过程就是认识关系、探索关系、建构关系的过程.讲题教学作为一种教学常态，应注重引导学生经历关系建构的思维活动过程，发展学生的思维品质.这里所谓的“讲题教学”指的是教师对题目进行讲解，师生共同参与的一种旨在解决定向任务的教与学的方式[2].需要强调的是，讲题教学不同于解题教学，前者侧重如何讲题，研究的是教师讲什么、怎么讲，而后者侧重如何解题，研究的是学生怎样解.因此，在讲题教学中应立足基础知识和基本技能，渗透基本思想，要讲思想、讲方法，更要讲策略，促进学生学会用数学语言表达和建构数量关系或位置关系，再运用数学知识与方法解决问题，从而提高数学思维品质，发展数学核心素养.

2 讲题教学的策略

2.1 “角色定位”策略

“角色定位”是指在分析和解决数学问题的过程中明确要求的目标元素是什么，把它定位成什么“角色”，以此确定探寻的路径和求解的方法[2].

案例1 对角的定位.

如图1，点O在直线AB上，将一副三角尺的直角顶点放在点O处，其中∠OCD=60°，∠OEF=45°，边OC，CE在直线AB上.若CD，EF相交于点G，则∠DGF的度数为.

在教学时，先引导学生通过阅读获取一些重要的数量信息，再探究解题路径，教师的“讲”应聚焦在引导学生“怎样想”上.讲题时启发学生先对∠DGF进行角色定位，再确定路径，让学生感悟不同的“角色定位”决定了不同的解题路径.比如，如果把∠DGF定位成“三角形的一个内角”，解题路径是在△DGF中根据三角形内角和求解，再根据隐含的信息（关系）分别求解∠D和∠DFG的度数，从而解决问题.如果把∠DGF定位成“∠CGF的邻补角”，解题路径是在四边形GCOF中根据四边形内角和求解，只需确定另外三个内角的度数即可.如果把∠DGF定位成∠CGE的对顶角，则可以在△GCE中完成求解.

案例2 对边的定位.

如图2，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长.

本题要求的折痕EF与已知矩形的边长没有直接的数量关系，对学生而言求解是有难度的.在讲题教学时，应引导学生先弄清题意，尝试对边EF进行适切的“角色定位”，探寻求解路径.如果把边EF定位成“菱形（隐含的图形）的对角线”，则连接EB，BD（如图3），构造菱形BFDE，易得EF与BD互相垂直平分，把求EF的长转化为求OF的长，再把求OF的长转化为求BF（DF）的长，最后根据勾股定理在Rt△DFC中完成求解.在“菱形的对角线”的角色定位下，也可以启发学生用菱形的面积公式分析求解.如果把边EF定位成“斜边”，则作FH⊥AD，垂足为H（如图4），在Rt△EFH中，要求边EF，需求边EH，而EH=DE-DH，易知Rt△DGE、Rt△DCF、Rt△FHD互相全等，其中DE与DF，DH与CF有相等关系，最后转化到Rt△DCF中求解.

“角色定位”策略的本质是基于对图形的形状、大小和位置关系的探索，尝试以不同视角寻找并表达数量关系，将未知与已知建立关联，实现求解目的.在讲题过程中，使用“角色定位”策略，有利于促进学生积极探究、主动思考，挖掘一题多解，培养学生高阶思维能力.

2.2 模型建构策略

在初中数学学习中，代数式、方程、不等式和函数是最常见的数学模型.其中代数式是后三者的基础，方程刻画的是实际问题中的等量关系，不等式刻画的是实际问题中的不等关系，函数刻画的是实际问题中两个变量之间的关系.在这里主要以方程模型和函数模型建构为例，简述讲题教学中的模型建构策略.

案例3 方程模型建构.

题1：甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款30000元.已知甲公司的人數比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元.甲、乙两公司各有多少人？

题2：如图5，点O在直线AB上，CO⊥AB，∠2-∠1=34°.求∠AOD的度数.

在两个不同领域的问题情境中，讲题教学应引导学生经历实际问题数学化的过程，讲清楚数量关系的梳理、表达和建构，使学会学会找等量关系并正确进行数学表达.比如在题1中，有两个等量关系：甲公司人数=（1+20%）乙公司人数、乙公司人均捐款-甲公司人均捐款=20.若设乙公司有x人，则由人数的等量关系表达出甲公司人数，再由另一个等量关系完成方程建构，反之亦然.又如题2中，“CO⊥AB，∠2-∠1=34°”是两个条件，而条件所传递的是关系信息，即∠1+∠2=90°，此时方程模型直观明了，求角问题迎刃而解，学生在关系探究的过程中潜移默化地提高分析和解决问题的能力.我们不妨把两个问题放在一起进行比较，让学生探究两个问题的异同，以关系建构为主线，适时启发、引导思考，使学生在发现和体悟中理解数学本质.

通过讲题要让学生明白，解决实际问题的过程就是数学表达的过程，而数学表达的关键就是建构关系，有了清晰的关系，才能获得数学模型，从而解决实际问题.

案例4 函数模型建构.

如图6，直线l与半径为4的⊙O相切于点P，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值为.

分析发现，变量x，y分别是Rt△PAB的斜边、直角边，仅根据勾股定理的数量关系，建构的数学模型无法解决问题.此时讲题教学的重点是依据现有条件，引导学生建构特殊的位置关系，从而实现构造新的数量关系、建构函数模型的目的.比如，过点A作⊙O的直径AC，连接PC（如图7），易证Rt△ABP∽Rt△CPA，由此将x，y建立关系，得到二次函数模型，解决最值问题.学生是学习的主体，在讲题教学中，应以问题为主线，营造分析、思考、表达、质疑的课堂学习氛围，教师及时捕捉学生的思维障碍，适时、适度地启发、点拨，使学生经历找关系、造关系、用关系建构函数模型解决问题的过程，培养数学建模能力.

2.3 综合分析策略

这里所谓的综合分析策略是综合策略与分析策略的统称.综合策略是指从题目的已知条件作为起点，借助有关概念、性质和定理，根据数量关系，经数学表达与逻辑推理，最后获得求解方法的策略.其特点是“由因导果”，从起点找终点，即根据“关系”从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.分析策略是指从题目中的未知（待求结论）出发，根据数量关系，建立未知与已知条件之间的关系，最后获得解题路径的策略.其特点是“执果索因”，从终点找起点，即根据“关系”从“未知”找“需知”，逐步导向“已知”.

案例5 求代数式的值.

如果代数式5a+3b的值为-4，那么代数式-2（a+b）-4（2a+b）+3的值是.

通常情况下，要求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值，需求得字母a、b的值，而给出的条件只有5a+3b=-4，显然无法确定字母a、b的值.要求的代数式可化简为-10a-6b+3，此时讲题的关键就是如何建立已知代数式与待求代数式的关联，即建构二者的关系.由已知5a+3b=-4，可知-10a-6b=8，从而求得未知代数式的值，在引导学生思考的过程中渗透综合策略.把待求的代数式-10a-6b+3整理为-2（5a+3b）+3，即要知代数式-10a-6b+3的值需知代数式5a+3b的值，以此建立关系求解，使学生掌握分析策略.

2.4 分步实施策略

分步实施策略是指运用G·波利亚“怎样解题表”的解题步骤而实施讲题的一种教学策略.即在讲题教学中引导学生自主经历弄清题意、拟定计划、执行计划和回顾反思四个阶段，以提高讲题教学效益.

案例6 综合类求边长问题.

如图8，在矩形ABCD中，AD=3AB=310，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M，N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=.

第一步：弄清题意

此题已知条件较多，关系复杂，包含一些隐蔽条件，已知条件与未知结论之间的关系错综复杂，讲题时应引导学生尝试从不同角度解释、明确条件和结论[3]，比如引导学生通过列表来表达关系，从而弄清题意（如表1）.

第二步：拟定计划

在弄清题意的基础上，从基本概念、性质和定理等出发，画出符合题意的图形（如图9、10），引导学生探究解题路径.比如把求等腰△PMN底MN转化为求高PF，以此拟定求解计划：借助图形关系先求PF，再找PF与FN的关系，最后求得MN.图9 图10

第三步：执行计划

根据拟定的求解计划，把计划分解成若干小任务，以关系表达为抓手，逐个完成任务，最终完成计划.比如通过△DPF∽△DBA，使PF与边长AB，BD，PD建立关系，求得PF.再由∠PNM=∠DEC，得tan∠PNM=tan∠DEC，即PFFN=CDCE=12，由此获得关系，先求得FN，再求得MN.

第四步：回顾反思

教师在引导学生完成计划后，反思环节尤为重要.反思是对整个讲题、解题过程的整理，是对基础知识、基本思想方法的归纳总结，对不同计划的比较、改进、优化、取舍，是一个学习的再概括过程，有利于促进学生深度思考，实现深度学习.比如在图9教学中，有学生提出选用△DNP∽△BED，拟定计划为：先求PN，再求FN.在肯定计划的同时，应适时引导学生进行不同计划的比较，反思优劣，以培养学生数学思维的灵活性和深刻性.

3 讲题教学的两个基点

3.1 以学定讲

讲是为了学，为了学生更好地、更有效地学.讲题教学的最终落脚点是学生乐学、会学、善学.在教学中凸显教师课堂讲题主导地位的同时，要把落实学生学习的主体地位始终摆在首要位置.精准分析学情，重视差异化教学和个别化指导，课上要讲清楚重点难点、知识体系，引导学生主动思考、积极提问、自主探究[4].这是国家层面再次强化学生在课堂教学中的主体地位，在提倡启发式、探究式、互动式等教学方式的同时，也肯定了教师讲的重要性.因此，以学定讲是讲题教学的基点，是实施有效讲题的基础.

讲题教学的设计是一个精准分析学情，以生为本，精选讲题策略的过程.教师在实施讲题教学时，以建构关系为学习的根本任务，驱动学生主动进行信息加工，突破思维障碍.以讲题策略为指导，促进学生积极思考，主动探究，经历观察、分析、综合、抽象、概括、类比、归纳、联系、猜想、判断、推理等各种思维活动[5]，从试错到顿悟，最终贯通条件与结论的关系，学会求解策略，培养数学思维品质，发展数学能力.

3.2 以题定讲

教师讲什么、怎么讲是由题目的特点决定的，这就是所谓的“以题定讲”.以上例举的讲题教学策略是有适用范围的，“角色定位”策略适用于“多角色”的线段、角等求解对象，这类题目多为综合类几何问题.模型建构策略的适用范围比较广，比如用代数式模型探究图形类题目中边或角的数量关系，用方程模型求解实际问题（应用题、几何题等），用函数模型求解最值问题等.综合分析策略适用于条件与结论的关系不明确的题目.分布实施策略适用于条件较多、关系复杂的综合类题目.

以题定讲是指根据不同题目的特点选择不同的讲题策略，是讲题教学的另一个基点.在运用讲题策略实施讲题教学时要注意两点：一是几种讲题策略没有清晰的界限，它们不是独立存在的，大多情况下它们相互融合，相辅相成，混合使用;二是几种讲题策略的核心是关系建构，无论是单个使用还是混合使用，都应在关系建构视角下帮助学生化繁为简，从“知其所以然”走向“何以知其所以然”，在深度学习中真正提升数学思维能力.简而言之，讲题就是讲关系建构，讲题教学就是讲关系建构的教学.

总之，讲题教学是以培養学生的数学思维品质为突破口，以发展数学思维能力为指向，以提升数学核心素养为标的，以立德树人为根本任务的一种教学方式，而提高讲题教学效益的有效途径就是以学定讲、以题定讲，落实讲题教学策略.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012

[2]孙凯，殷容仪.基于角色定位的讲题教学与思考[J].数学通报，2019（10）：29-32

[3]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].3.北京：北京师范大学出版社，2012：301

[4]中共中央国务院关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见[M].北京：人民出版社，2019：6

[5]章建跃，朱文芳.中学数学教学心理学[M].北京：北京教育出版社，2000：246

作者简介 孙凯（1982—），男，江苏徐州人，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“初中生数学建模能力培养与评价的实践研究”（编号：B-b/2020/02/104 ）、江苏省中小学教学研究第十三期课题“指向学科核心素养的数学‘后建构课堂设计研究”（编号：2019JK13-ZB16）的阶段研究成果.