数学抽象素养视角下“相似”教材内容的比较研究

杨怡 梁会芳 张定强

【摘 要】 数学抽象是数学的基本思想，也是数学教材表征的主要维度.以人教版和北师大版初中数学教材“相似”内容为研究对象，基于数学抽象素养的视角对教材中“相似”概念和规则的获得、命题和模型的提出、方法与思想的形成以及结构与体系的认知进行对比分析，以期为数学教育工作者多角度研读数学教材提供借鉴.

【关键词】 数学抽象;“相似”;教材比较

1引言

数学教育的开展依赖师生双边活动的有效进行，理解和运用教材是其有效实施的基本保障.教材作为承载数学知识与思想方法的文本资源，是进行数学教学活动的直接材料，对其结构的剖析与挖掘有助于教师深刻理解编者意图，有效帮助学生减少学习认知障碍，努力实现理想化的教学.“数学抽象”是数学的本质，也是数学学科六大核心素养之首，是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，数学高度概括、表达准确、结论一般、有序多级均依赖“数学抽象”发挥作用[1].而“相似”是义务教育数学课程中的重要内容，是仿射变换的核心，是几何变换在中小学数学教育的初步引入，也是后续“锐角三角函数”、“投影与视图”以及未来建筑、绘图等知识学习的基础，其本身蕴含着丰富的数学思想，学习“相似”内容有助于师生利用几何变换的符号、性质为几何论证提供新的途径和表达方式，促进学生问题解决能力的提升及数学素养的养成[2].基于此，本文以人教版和北师大版教材为例，从数学抽象素养视角对教材中“相似”内容的呈现展开比较研究，以期为一线教师多角度分析数学教材提供一定借鉴.2研究对象

《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定“图形的相似”属于第三学段学生所应掌握与了解的“图形的变化”内容之一，简单来说主要涵盖比例、图形的相似、相似三角形以及位似等内容[3].为描述简洁、统一，选用人教版的“相似”章节命名（北师大版中用“图形的相似”），对两版教材中共有的“相似”内容展开对比分析，具体章节详见表1.

从“相似”知识章节分布学段来看，两版教材都将其放置于九年级来学习;从其章节设定位置来看，无论是人教版的二十七章还是北师大的第四章，均排列在图形的全等和轴对称、旋转、平移等简单的全等变换之后，符合知识发展的逻辑顺序;从具体小节来看，人教版将相关知识划分为3大节，而北师大版则将其细化为8小节，且将相似三角形判定定理的证明单独列出.总体而言两者都很好的体现了课标所要求的内容，但对于教材建构的篇幅而言，北师大版较人教版多出12页内容.具体建构思路本文将从数学抽象素养的视角进行对比剖析.3 研究结果及分析

数学抽象主要表现为获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系[1].“相似”学习中主要是关于图形与图形关系的抽象，是基于现实与逻辑两个阶段进行，据此从其数学抽象的四个表现形态进行“相似”教材内容的比较分析.3.1 数学概念和规则的获得

概念是思维的细胞，认知心理学将其定义为“符号所代表的具有标准共同属性的对象、事物、情境或性质”，现代认知心理学指出概念随着知识结构不断发展，学生对其理解总是由具体向抽象、日常向科学发展[4].数学因其是研究数量关系和空间形式的科学，所以数学概念是在舍弃非本质属性后仅存留数量关系、形状、大小、位置等本质属性的数学思维的基本单位.现就两版教材“相似”主要概念和规则的获得方式进行对比，详情见表2.

从编排顺序来看，两版教材关于“相似”相关概念的呈现整体上属于演绎思维，如表征完相似图形的概念后，再阐释相似多边形、相似三角形的概念，随后是位似图形，位似则是相似图形的一种特殊形式;不同的是北师大版直接嵌入“成比例线段”，为相似知识的学习做好奠基.从概念的获得方式来看，除“相似图形”“相似三角形”两版获得方式一致外，人教版采用直接方式给出相似概念，北师大版则尝试以问题启发、操作试验等多种方式给出.从概念抽象的过程来看，“相似”概念是通过从现实世界中的具象出发到图形语言概述，再到自然语言描述，然后到符号语言表征的抽象过程形成的.

概念获得追求的是其本质特征的析出，两版教材中体现明显.如“相似三角形”概念抽象的三阶段[5]就是例证，即简约阶段给予学生日常生活中的模式刺激，让学生在知觉水平上感知，“相似”指形状相同的图形;接着引入“相似多边形”这一特殊的相似平面图形，通过分化、类化寻找其本质属性，即“各角分别相等，各边成比例”，“相似三角形”的定义可自然而然抽象为“三角分别相等、三边成比例的两个三角形”.符号阶段是用数学符号语言表示两个相似三角形及它们之间的边角关系.普适阶段则是逐渐完善对“相似三角形”判定、性质的系统认识，并采用其解决“测高”等实际问题，进一步发展学生的逻辑推理以及综合运用知识解决问题的能力.

3.2数学命题和模型的提出

3.2.1 命题和模型提出路径

命题一般由若干概念组成，它揭示着概念之间的关系.美国心理学家安德森就认为知识的最小单元是命题，而非单个的概念本身.数学模型在义务教育阶段的数学中，是指用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等[6]，而“相似”教材内容就蕴藏着大量的数学命题和模型，是在抽象的过程中通过一定的数学活动让学生经历、积累这种抽象的经验.因此对教材中相似相关命题和模型提出的建构路径分析可帮助学生更好地形塑数学抽象素养，现将两版教材中共有的“相似”命题及模型所涉及的提出路径梳理如下，详见表3.

人教版通常专设“探究”栏目帮助学生完成数学命题和模型的提出，同时会借助实物启发学生思考，如“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理就是借助学生身边实物“三角板”来启发探究;北师大版则以具体问题或“想一想”“做一做”“议一议”来引导学生展开数学活动，进行数学思维.整体来看，无论“相似”命题和模型提出的路径是什么，实质上两版教材均擅长通过类比全等三角形、实际问题以及实践操作来启发学生思维，鼓励学生尝试解决问题、提出数学命题，从而让学生积累数学活动经验，获得数学关键能力，形成良好的思維品质.

3.2.2 命題和模型提出例析

数学活动是学生数学命题和模型提出的最好素材，下面以“相似三角形的判定”提出为例，来对比分析活动中的问题如何体现数学抽象的不同阶段，详见表4.

由上表可知，整体来看两版教材“相似三角形判定定理”的提出均有类比全等三角形的思想，且通过具体问题启发学生思考，鼓励学生动手画图、观察直观的三角形来抽离确定两个三角形相似的条件;接着进行精简、高度的抽象概括，形成判定三角形相似的判定定理并加以证明;最后在相应的定理后附带例题，借助该定理并运用数学符号表示解决具体实际问题以拓展其适用范围，至此数学命题、模型的提出完成.但从具体的每个定理提出来看不同版本教材存在着明显的不同，从定理的顺序来看，各版本均与其“全等三角形的判定定理”顺序保持高度一致;从类比的详细情况来看，人教版直接用“全等三角形的判定”结果进行类比，对于不能直接引用的，如“两角分别相等的两个三角形相似”则采用实物“三角板”来阐述;北师大版则借助“全等三角形的判定”探索过程，即“至少满足哪些条件两个三角形就能相似”.这两种方式各有千秋，人教版方法多样且省时省力，北师大版虽耗时但通过这一类数学活动探究却能帮助学生巩固基础知识与技能、感悟数学思想方法，同时积累数学活动经验.3.3 数学方法和思想的形成

“相似”的教学除了要让学生抽象出基本的数学概念和规则、命题和模型之外，更为重要地是渗透数学思想方法，形成学生的数学方法和思想，这是学生学习数学之后真正伴随其一生的宝贵财富.通常认为“数学思想方法”可从“数学思想”与“数学方法”两个角度来阐述，强调数学活动的指导思想时常以前者命名，强调具体的操作过程时则以后者命名.数学思想方法作为数学的精髓，蕴含在数学知识的形成、发展与应用过程中，是数学知识在更高层次上的抽象与概括[9].这就要求教师在实施数学教学活动前要有主动挖掘教材中数学思想方法的意识，在教学实践中注重数学思想方法的渗透，从而提升学生的数学思维能力，促进学生数学素养的养成.

“相似”知识在数学抽象的过程中主要涉及到的数学思想方法有一般与特殊、类比、化归、数形结合以及模型等，两版教材均有不同程度的体现.其中从“全等三角形”到“相似三角形”是一个从“特殊”到“一般”的过程，从“相似图形”“相似多边形”“相似三角形”则遵循从“一般”到“特殊”的顺序，帮助学生完成数学抽象;以类比“全等三角形”来完成“相似三角形”判定定理的抽象;以化归将“相似三角形”判定定理的证明转化为学生已经熟悉的“全等三角形”问题，完成证明;以“数形结合”使得几何直觉、合情推理易于转化为程序化操作的代数运算，使得学生对“相似”的理解更加理性化;以具体的例题、习题等实际问题的设计，帮助学生感悟数学模型思想，从而培养学生的应用意识.3.4数学结构与体系的认识

“相似”是学生在第三学段“图形与几何”领域中“图形的变化”中继轴对称、旋转、平移之后的第四种变化，其中从“全等三角形”到“相似三角形”是一种从特殊到一般的认识过程，同时“相似”也是后续“投影与视图”“锐角三角函数”等知识学习的基础，如图1.两版教材均在“相似”知识的学习过程中通过相关概念和规则的获得、命题和模型的提出以及数学思想方法的形成逐渐完善学生认知系统，遵循的建构路径基本相同，核心知识点一致，只不过语言表征、素养阐述各有不同的风格.启示我们在理解和掌握教材中要明晰其宏观结构上的一致性与微观表述上的差异性，从而深度学习和掌握教材建构的特点，做到对“相似”知识从建构系统上整体把握，从建构动态上精确理解.图 1 “相似”数学结构体系认识

4结语

学习数学可以说是在学习数学的抽象形式、方法和语言，通过经历数学的抽象活动有助于学生学习、理解数学，并运用数学的思维方式和语言来表达现实世界[10].数学教师要善于对比分析现有教材中对同一知识的数学抽象方式，即数学概念和规则的获得、数学命题和模型的提出、数学方法与思想的形成以及数学结构与体系的认识等具体的呈现方式，从中触摸数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式;数学不仅是一门科学，也是一种文化;数学不仅是一些知识，也是一种素质的内涵.具体在“相似”内容本质理解的基础上，帮助学生通过多种方式体验数学的方法性和抽象性、科学性和文化性、知识性和素养性;并以探究活动为载体，类比“全等图形”让学生经历探索抽象数学命题和模型的过程;以数学思想方法为核心，让学生感悟类比、化归、数形结合等数学思想方法的精妙;以教材的数学抽象之美为灵魂，鼓励学生自主探索“图形变化”的奥秘，从中体悟数学抽象的机制系统[5].最终帮助学生把握数学本质、发展数学思维、提升数学素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：4

[2]丁尔升.现代数学课程论[M].南京：江苏教育出版社，1997：372-379

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：37-38

[4]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2017：101-112

[5]邓翰香，吴立宝，沈婕.指向数学抽象素养的教材分析框架与案例剖析——以人教A版“函数单调性”为例[J].数学通报，2019（10）：33-38

[6]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：106

[7]林群主编.义务教育教科书·数学九年级下册[M].北京：人民教育出版社，2014：23-59

[8]马复主编.义务教育教科书·数学九年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014：75-123

[9]刘德宏.渗透数学思想 提升数学素养[J].教育探索，2015（02）：32-35

[10]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：72-76