发生式定义概念如何开展深度学习

钟丽丽 王利庆

【摘 要】 根据数学深度学习的内涵和特征，在发生式定义概念教学中，通过活动与体验、思维方法、交流思辨、应用与迁移四环节开展深度学习.并以《平方差公式》教学为例，如何进行深度学习设计，开展深度学习.

【关键词】 发生式定义概念;深度学习;课堂教学

数学概念在数学教学过程中，既是数学推理、判断、论证的基础，也是培养学生能力和发展核心素养的基础[1].基于数学概念形成过程和表述方式的不同，数学概念可以归类为描述性定义（如方程概念、不等式概念等）、形式化定义（如正比例函数、反比例函数、二次函数概念等）、发生式定义[2]（平方差公式、完全平方公式、各种因式分解的方法等）和关系性定义（三角形的内心、外心、重心、角平分线、中线、高线等），本文以浙教版七下3.4《平方差公式》为例，开展对发生式定义概念进行深度学习的思考和实践.

1 发生式定义概念教学要重视概念的发生、发展过程

发生式定义概念是指以概念的发生或形成的本质属性作为种差的定义.一般具有较强操作性，若是几何概念，则可通过图形的运动变换;若是代数概念，则是数式的运算.这一类概念教学，最忌教学中忽略概念来源，通过大量练习来替代概念理解和巩固.这样的教学，往往使学生只知其然而不知其所以然.因此教师在发生式定义概念教学中，要重视概念发生、发展过程，让学生充分参与、体验概念的形成过程建构新知，并能在复杂情境中有效迁移和运用，促使学生高阶思维的发展.2 数学深度学习内涵及其发生特征

2.1 数学深度学习内涵

根据数学学科特点及课程标准要求，首都师范大学刘晓玫博士认为：数学深度学习是以数学学科核心内容为载体，在教师的引导下，学生围绕具有挑战性学习主题和任务，全身心参与学习活动，开展运算与推理、几何直观、数据分析和问题解决等为重点的思维活动，从而获得数学核心知识，把握数学本质和思想方法，提高思维能力，形成核心素养的过程.数学深度学习是对数学知识本质的理解、对知识内在联系的认识和整体把握;是在经历知识产生的过程中体会数学思想方法，形成数学思维方式，并将数学知识方法与现实问题建立联系，解决现实问题;是学生主动参与、积极探索、经历数学知识“再发现”的过程;是不断反思、质疑和应用，并对数学学习对象深加工的过程[3].

2.2 数学深度学习课堂发生的基本特征

數学深度学习具有以下四个基本特征：一活动与体验，学生在课堂上通过主体活动，在活动中发生内心体验，它是深度学习的核心特征.二联想与结构，通过已有知识经验去探究新知识，并将新知纳入到原有知识结构中，不断优化和完整.三本质与变式，学生能抓住教学内容的本质属性，全面把握知识内在联系，并能够有本质推出若干变式，对学习数学内容进行深加工.在把握本质属性过程中，或质疑、探究，或归纳、演绎，或情境体验.四迁移与应用，学生将所学知识转化为解决问题能力.通过迁移应用，完善学生知识结构的系统性、结构性、完整性，培养和加强学习的主动性、积极性主动性[4].

由此可见深度学习是有意义学习，要求学生的学习在发现基础上同化;深度学习是理解性学习，重在引导学生通过深切体验和深入思考，达成对数学知识理解和渗透;深度学习也是阶梯式学习，学习是促进式、阶梯式并具有层次性.3 发生式定义概念课中开展深度学习的四个环节

平方差公式属于发生式定义概念，平时也常称之为公式课，它是用符号（字母、运算符号）表示量与量之间的关系（定理或定律）的式子.发生式定义概念是数学原理教学的一部分，在发生式定义概念的教学中，该如何开展深度学习，发展核心数学素养呢？笔者认为：基于教师深度备课前提下，引领学生参与公式的探究、猜想、证明过程，深刻理解公式各部分符号的意义及内在联系，并能对公式变形和问题解决.深度学习下发生式定义概念教学一般环节如下图1.

图1 深度学习下初中数学发生式定义概念教学控制

3.1 创设问题情境，组织学生参与、体验活动

以活动为载体，使学生在活动中，发挥主体作用，激发真实的、主动的内心体验，是开展深度学习的核心特征.教师通过深度备课，创设问题情境，使情境符合学生认知特点的最近发展区，具有趣味性、操作性等特点，以激发学生主动参与的热情与意愿.在发生式概念教学中，教师可以通过复习已有知识解决问题的方式（如乘法公式、幂的运算法则）;数学实验（如乘法公式用面积思想）、生活实例等等手段，唤醒学生的认知思维，激发学生内心驱动，投入到学习.

3.2 运用数学思维，体会概念获得过程中的基本方法

学生在探究数学公式过程中，除获得公式正确结果外，能结合命题呈现条件和背景，思考将会产生结论（大胆猜想）并用文字语言表达出来;敢于动脑、动手对猜想结果，探究验证或演绎证明;能根据问题创设的情境，了解猜想常见途径;根据获取结论的不同思维程序，体悟数学公式获得一般流程：引入—观察—归纳—猜想—证明.获得公式的思维程序，是探索、发现新事物路径之一.而数学思维的培养是数学核心素养重要内容之一.因此在课堂教学中要加强“思维型教学”，用“数学思维”思考问题，完善知识结构，发展能力.

3.3 开展交流思辨，培养学生深度思考习惯

交流思辨，在公式建构过程中非常重要，它可以避免学生在公式课学习中“只重视结论及结论的套用，不重视推导过程”的学习心理;也可以使教师在教学过程“强调记住结论，应用结论，不重视知识形成过程”的“功利”教学心理.通过交流思辨，了解公式的来龙去脉，揭示其推导、论证中所用到有代表性的数学思想、思维方法，清晰公式适用的范围及成立的特定条件.交流思辨是深度学习提升和培养学生个体“深度”的环节，它可以贯穿整个公式课的教学过程.

3.4 组织迁移应用，提升学生解决问题能力

“迁移应用”是指向应用的“深度学习”体现，是学生个体经验的扩展与提升，是学生“内化知识”转化为“外显知识”环节，同时可以把新知识纳入到旧知结构中，实现知识结构完善.在公式教学中，“迁移应用”是对公式直接应用的加深，对公式逆向应用的拓展，总之要对公式能灵活变形，熟练掌握公式.4 初中数学公式课教学深度学习的案例分析

下文是笔者2019年4参加“浙江省千人百场专家名师送教下乡”于江山的一次公开课，是浙教版七下第三章3.4《乘法公式》第1课时（平方差公式）.本文基于深度学习特征要素设计活动，呈现发生式定义概念如何开展深度学习路径.课前预学单

1.计算下列各式：

①（m+n）（p+q）;②（a+b）（x-y）;③（2x+3y）（a-b）.

对于①（m+n）（p+q）并尝试用几何图形来表示.

2.计算下列各式：

④（a+2）（a-2）;⑤（3-x）（3+x）;⑥（2m+n）（2m-n）.

思考并回答：

1）上述式子有什么结构特征？

2）你能用式子表示这种特殊多项式相乘吗？并尝试对所写式子进行验证.

设计意图 首先，基于学生学情，刚学完多项式乘以多项式乘法法则，用题组形式呈现并课前解决，符合学生“最近发展区”，符合学生认知特点.其次就教材知识呈现次序而言，平方差公式是多项式乘以多项式的特殊形式，所以多项式与多项式的乘法法则是新知的“固着点”，利用已有知识作为情境引入的素材，可以充分发挥旧知的“先行组织者”功能，在一般情况下发现特例，并由此得到猜想、归纳、证明.第三，就学生学习的教学价值而言，感受有“一般到特殊”得出数学结论的研究思考路径.最后，以预学单形式课前完成，可以让各个层度的孩子有充分思考时间，尤其是学困生可以再一次巩固多项式乘法法则.同时教师通过批改学生预学情况，了解每位孩子思考角度.

活动1 下列式子中哪些可以用平方差公式运算？如果满足，请指出公式中的a，b分别是什么？

设计意图 学生对平方差公式有初步的感受之后，设置这一组题目，让学生加强辨识公式左边的结构特征，只有准确掌握公式的结构特征，才能使学生在计算过程中，快速分辨采用一般多项式乘法法则还是采用平方差公式.在公式类型的课例教学中，可以采取拉长探索公式历程的策略，通过题组辨析，熟悉公式特征，增强对数学公式本质的理解，发展学生的深度思考力，发挥“公式课”的教学价值：培养学生的观察能力、抽象概括能力和化归能力.

活动2 下列运算正确吗？若不正确请改正.

问题1：你能尝试用文字语言表述平方差公式吗？

设计意图 通过活动1、2的辨析，学生对平方差公式左边和右边的结构特征在认知结构中更为清晰，这个时候提出用文字语言表述，就可以更精准.至此，已探究出平方差公式的两种表征方式，深化学生对平方差公式的多角度认识.数学公式的教学过程中，应让学生充分经历公式的生成过程，防止学生机械性的记忆公式，突破符号的形式化，真正深度学习.

活动3 填空

设计意图 归纳用平方差公式计算的一般步骤：1判断2调整3计算，体会平方差公式具有“结构不变性和字母可变性”特征.通过例题及活动2，熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式的条件.活动3的设计，主要是对平方差公式的逆用，旨在培养学生的逆向思维，同时也为后续因式分解的学习打基础.发挥例题和练习的教学功能，深化知识，培养学生的思维能力.在公式教学中，使学生充分感受公式的生成过程，熟悉和清晰公式的表征形式，把握公式形式化的本质，达到深度学习的教学.

活动4 根据所给的单项式：x，y，2，任意选用运算符号，构造出符合平方差公式特征的多项式乘法，并计算结果（可以添加正负号，每人至少写5组.先独立完成、再小组讨论、核对，最后选择5题写在小黑板上展示）.

设计意图 用平方差公式化简计算过程的关键点在于找准相同项和相反项，这恰是学生的易错点和模糊点.这个开放性环节的设计，可以让孩子进一步理解平方差公式的结构特征，从而培养学生问题解决、思维发散等能力.放手让孩子“自编自导自算”，让孩子当家做主，可以提高孩子的学习积极性.在小组核对讨论环节，又可以相互学习，共同进步.同时也可以很好地落实“不同学习能力的学生有不同的发展”.

活动5 完成下列计算.

1.用平方差公式计算：

（1）103×97; （2）59.8×60.2.

2.计算：（x+1）（x-1）（2x2+2）.

设计意图 这是平方差公式的应用迁移，两题关于数的简便计算，实际上是对平方差公式中a，b及公式结构的深度理解，对用字母表示数的灵活处理.2题的计算，是在一般问题的背景下，让学生自动识别公式特征，一个问题情境下，多次使用公式，对学生的思维要求比较高.

活动6 谈谈这节课我们学习了哪些内容？本节课我们是如何研究平方差公式的？

设计意图 这个活动的设计一方面让学生回顾本节课的学习过程，养成及时总结、反思的好习惯;另一方面引导学生思考如何研究平方差公式，为后续相关概念如：完全平方公式的学习、因式分解方法等内容的学习提供了研究思路：特殊形式的多项式乘法—归纳结构特征—提炼公式—辨识公式特征—应用公式计算—拓展应用.为学生后续的学习与发展都有很大帮助，可以站在更高视角来审视概念认识过程.

《平方差公式》这一节课，从蕴含的数学思想方法看：平方差公式的引入蕴含了分类与整合的思想;平方差公式在探究与证明过程中凸顯一般与特殊思想;平方差公式几何意义的探究中体现了数形结合的思想;平方差公式外延的辨析中培养了逆向思维;平方差公式应用过程中体现了整体、化归的数学思想.平方差公式自身的功能诠释了建模与应用的思想.这节内容的学习让学生充分体验和感悟了丰富的数学思想方法.从数学方法上来看，主要揭示了这一类概念学习的研究思路，可以站在更高的视角来审视概念的认识过程，渗透了学生学法的指导.

深度学习如何有效地在课堂教学中落地生根，重在充分发挥教师的组织者功能，笔者以为，可以基于以下三个方面作积极的探索和实践：对教学内容的深度理解上，要深刻理解教学内容承载的教学功能;对教学内容的深度设计上，采取什么样适合的形式输出，使设计更为有效;对教学形式的深度组织上，如何发挥学生的主体地位，主动参与教学过程，主动思考和自主探究.只有这样，才能将学生这种内源性的学习形态，转变成深度学习的习惯.

参考文献

[1]杨礼鳣.略证数学概念及其定义方式[J].中等数学，1987（01）：34-36

[2]周曙.基于定义方式的初中数学概念分类及其教学建议[J].中学数学教学参考（中旬），2019（4）：2-4

[3]刘晓玫.数学深度学习的教学理解与策略[J].基础教育课程，2019（4）：33-38

[4]郭华.深度学习的五个特征[J].人民教育，2019（6）：76-80

作者简介 钟丽丽（1983—），女，浙江杭州人，中学一级教师，余杭区骨干教师、教坛新秀，主要从事初中数学课堂教学研究.

王利庆（1973—），女，浙江绍兴人，中学高级教师，教育硕士，杭州市教坛新秀，优秀班主任，多篇教学论文获奖及发表，主要从事初中数学课堂教学研究.