高等数学背景下的极值点偏移问题探究

张小彦

(1.青海省西宁市青海师范大学数学与统计学院 810008；2.甘肃省民勤县第四中学 733300)

一、极值点偏移问题的概念介绍

对于可导函数y=f(x),假设在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,且方程f(x)=0的解分别为x1,x2(a

下面我们从极值点偏移的高等数学背景进行探究.

二、极值点偏移问题的高等数学背景

极大值点的情形推导过程同上,结果却恰好相反,此处不再详述.

至此,我们得到极值点偏移问题的判断法则：

f‴(x)<0⟹极小值点向左偏移(极大值点向右偏移)；

f‴(x)>0⟹极小值点向右偏移(极大值点向左偏移).

三、极值点偏移问题应用举例

例1(2016新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1+x2<2.

解(1)a∈(0,+),过程略.

(2)f‴(x)=ex(x+1).若x≤-1,由f(2)=a>0知可设x1≤-1-1,则f‴(x)>0.由(1)及上述判断法则可得极小值点x=1向右偏移,因此有x1+x2<2.