紧扣题目的本质——2018年全国高考Ⅲ理科数学21题别解

朱东海

(云南省蒙自市蒙自一中 661199)

2018年全国高考Ⅲ理科数学21题是一道很好的题目，着重考查学生对函数的导数与其极值，单调性，最值之间的关系，但参考答案提供该题的(2)原解是用构造新的函数，不仅不易想到，而且不好理解.

题目已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x．

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a．

现将(2)原解陈述如下：

(2)(ⅰ)若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2+x)ln(x+1)-2x>0=f(0)，这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的极大值点，当且仅当x=0是h(x)的极大值点.

其实，只需要紧扣极大值、导数、单调性和最值之间的关系，不断地转换就可以很容易得到以下的解法.