例析代数问题解答中“结构感”的培养

徐彦辉

摘要：数学学习中，解答一些复杂的非常规代数问题时，尤其需要具备识别出问题中隐藏的“结构”的能力，即具备对表达式的“结构感”，从而灵活地使用表达式的等价结构。“结构感”包括：（1）以最简单的形式识别出熟悉的结构;（2）作为一个整体处理复杂项，通过适当的替代识别出更复杂形式中熟悉的结构;（3）选择适当的操作或变换以充分利用结构。举例说明识别出问题中隐藏的“结构”对于解答代数问题的作用，并进一步指出“结构感”的培养对于解答代数问题的意义。

关键词：代数问题 结构感 解题教学

数学家德夫林指出：“对大多数外行人来说，做数学意味着学会一大堆毫无联系的规则和技巧来解答各类问题。当遇到一位数学家对你说‘噢，这很明显，你这样做，再这样做，然后答案就这样出来了’，一般人一定会以为做数学需要一个特殊的脑袋。事实上并非如此，使得数学家在这种情况下知道该怎么做的主要原因是他们看到了针对问题领域的一种潜在结构。如果你能看出这种结构，你会很清楚下一步该做什么。”看出这种结构其实就是具备了“结构感”。这是一种洞察力，是一种高层次的思维。

Hoch认为，“结构感”是一种包含程序性操作技能的综合能力，它能使学生更好地运用先前所学习的“代数技术”。数学学习中，解答一些复杂的非常规代数问题时，尤其需要具备识别出问题中隐藏的“结构”的能力，即具备对表达式的“结构感”，从而灵活地使用表达式的等价结构;而不是熟练地利用程序性操作技能，盲目地操作表达式。

Hoch和Dreyfus认为“结构感”包括如下综合能力：识别结构，将表达式的一部分看作一个整体;将表达式分解成有意义的子表达式;识别哪些操作是可能的和有用的，并选择适当的操作或变换以充分利用结构。Hoch后来又将“结构感”定义为：（1）以最简单的形式识别出熟悉的结构;（2）作为一个整体处理复杂项，通过适当的替代识别出更复杂形式中熟悉的结构;（3）选择适当的操作或变换以充分利用结构。

这里，以平方差（a2-b2）的结构为例对应说明每种类型的“结构感”：（1）分解81-x2——能识别平方差的结构并分解因式;（2）分解（2x-y）4-（2x+y）4——能将（2x-y）2与（2x+y）2分别看作一个整体，识别平方差的结构并分解因式;（3）分解24x6y4-150z8——能在提取公因式后看出平方差的结构，即能将24x6y4-150z8寫成6（4x6y4-25z8），再将2x3y2与5z4分别看作一个整体，识别平方差的结构并分解因式。

可见，“结构感”的一个重要特征是“替换原则”，即将一个变量（或参数）用一个复杂的式子替换，或将一个复杂的式子用一个变量（或参数）替换，其结构保持不变。这要求我们对代数问题中一些特殊的结构关系比较熟悉，同时，能对具体问题中的某些相似结构进行转化，或者采用整体思想化归为熟悉的结构。以下举例说明识别出问题中隐藏的“结构”对于解答代数问题的作用，并进一步指出“结构感”的培养对于解答代数问题的意义。

例1已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，求证：a1+a+b1+b+c1+c=1。

证法1：题设条件中含有六个字母，即x、y、z、a、b、c;但要证明的结论中只含有三个字母，即a、b、c。因此，证明的基本思路就是消元，即消掉x、y、z，可以采用解方程组的方法。

解方程组x=by+cz，

y=cz+ax，

z=ax+by。①

②

③

若x=0，则代入方程组得by+cz=0，

y=cz，

z=by，则y+z=0，则x+y+z=0，与题设矛盾，故x≠0。同理，可得y≠0，z≠0。

于是②+③-①，得到y+z-x=2ax，所以a=y+z-x2x，1+a=x+y+z2x，a1+a=-x+y+zx+y+z。同理可得b1+b=x-y+zx+y+z，c1+c=x+y-zx+y+z。所以，a1+a+b1+b+c1+c=x+y+zx+y+z=1。

证法2：观察发现，可以变a1+a为axx+ax（由上文可知xyz≠0），于是由已知条件实施整体代换即可得证。

a1+a=axx+ax=axax+by+cz。同理，b1+b=byy+by=byax+by+cz，c1+c=czz+cz=czax+by+cz。所以，a1+a+b1+b+c1+c=ax+by+czax+by+cz=1。

例2已知a+b+c=10，a2+b2+c2=38，a3+b3+c3=160，求abc的值。

解：由“结构感”引导而自然获得思路。

由a+b+c和a2+b2+c2想到基本关系式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca），可得100=38+2（ab+bc+ca），即ab+bc+ca=31。

再由a3+b3+c3和abc联想到基本关系式a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），即160-3abc=10（38-31），即abc=30。

例3已知abc≠0，a+b+c=0，求a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2的值。

解：已知式a+b+c=0看似三个变量和一个常数的关系，实则两个变量和一个变量的关系，即a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，而要求式也是这种结构。再考虑到a、b、c的轮换对称性，自然想到将要求式a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2展开重组为b+ca+a+cb+a+bc+2，从而代入已知式得-aa+-bb+-cc+2=-1。

例4设a、b、c都是正数，且ab+bc+ca=3，求证：a=b=c。

证明：令x=ab，y=bc，z=ca，则xyz=1，x+y+z=3，且x、y、z>0，则可以想到p3+q3+r3和pqr的基本关系式。

于是，得到3x3+3y3+3z3-33xyz=（3x+3y+3z）[（3x）2+（3y）2+（3z）2-3xy-3yz-3zx]=12（3x+3y+3z）[（3x-3y）2+（3y-3z）2+（3z-3x）2]=0。

由x、y、z>0，得3x-3y=0，3y-3z=0，3z-3x=0，故x=y=z=1，即a=b=c。

例5已知a+b+c=abc，求證：a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=4abc。

证明：显然，要将结论式的左边展开并参考条件式的结构重组，得到a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=a+b+c-（ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2）+abc（ab+bc+ca）。再将其中与条件式的结构差异较大的部分ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2向条件式的结构靠拢，化为ab（a+b）+bc（b+c）+ca（a+c），再化为ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）。可得，结论式的左边=abc-[ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）]+abc（ab+bc+ca）=4abc-abc（ab+bc+ca）+abc（ab+bc+ca）=4abc。

例6已知ax2-yz=by2-zx=cz2-xy，求证：ax+by+cz=（x+y+z）（a+b+c）。

证明：由已知条件和要证结论，容易想到根据等比的性质构造出ax+by+cz，即：当xyz≠0时，ax2-yz=axx3-xyz=by2-zx=byy3-xyz=cz2-xy=czz3-xyz=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

同理，可以构造出a+b+c，即：ax2-yz=by2-zx=cz2-xy=a+b+cx2+y2+z2-xy-yz-zx=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

再由x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）即可得证。

而当xyz=0时，假设x=0，则-ayz=by2=cz2，则-a=bzy=cyz=bz+cyy+z，即-a（y+z）=bz+cy。所以，（x+y+z）（a+b+c）-ax-by-cz=（y+z）（a+b+c）-by-cz=a（y+z）+bz+cy=0，命题得证。

例7已知x、y、z满足关系式xy+z+yz+x+zx+y=1，求证：x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

证明：观察发现，已知条件与要证结论之间有一定的相似性。因此，可以通过已知式得到要证式，即将已知式分别乘以x、y、z，得x2y+z+xyz+x+xzx+y=x，①

xyy+z+y2z+x+yzx+y=y，②

xzy+z+yzz+x+z2x+y=z。③

①+②+③，得到x2y+z+y2z+x+z2x+y+xyy+z+xzy+z+xyz+x+yzz+x+xzx+y+yzx+y=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+y+z=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

教学中，教师应该帮助学生提高“结构感”。可以通过一些具体的例子设计有目的的活动，即要求学生按照问题中蕴藏的“结构”性质，对问题进行分析或分类，而不仅仅是要求学生得到答案。这样的活动可以引导学生对问题中隐藏的“结构”进行更多的发掘和反思，培养学生的“结构感”。要求学生在解答代数问题时，秉承“想清、看明，再动手”的原则，其实质就是引导学生事先识别出问题中隐藏的“结构”。

正如哲学家Bateson（1972）指出的：学习分为两种，即第一层学习（Learning 1）和第二层学习（Learning 2）。学会解答代数问题，是第一层学习;学习隐藏在解答代数问题背后的那个思考方式，是第二层学习。解答代数问题的过程是看得到的，而通过解答代数问题形成的思考方式是看不到的。“结构感”的培养就属于第二层学习。教师对此要格外重视，要有意识、有针对性地对学生加以训练。

参考文献：

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[7] Bateson，G.Steps to an ecology of mind[M].Chicago：The University of Chicago Press，1972.