初中数学建模教学研究

林子植 　胡典顺

摘要：在初中学段开展数学建模活动，面临巨大的困难和挑战。而PISA数学素养评价框架以数学建模周期理论为基石，提出数学建模周期包含三个过程：建模、应用和阐释。一道PISA试题只考查其中的一个过程。初中数学建模教学可以借鉴这种“分而治之”的思想，规划数学建模能力的培养路径，寻找数学建模任务的设计依据，确立数学建模能力的评价维度。

关键词：数学建模教学 PISA 数学建模周期理论

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模定义为“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题”，并建议以课题研究的形式开展数学建模活动，让学生经历“实际情境—提出问题—建立模型—求解模型—模型检验—实际结果”的过程，最终以研究报告或者小论文的形式呈现数学建模过程。但是，应用数学知识、技能解决一个真实的情境问题，完整地经历上述数学建模过程，不仅需要具备较高的数学认知水平，还需要耗费较长的时间。初中生的数学认知水平还处于初等层次，再加上基础教育阶段学业负担较重，很难腾出专门的课程时间来安排数学建模活动。因此，在初中学段开展数学建模活动，面临巨大的困难和挑战。所以，在初中学段，设计什么样的数学建模任务来开展数学建模活动，怎样在日常教学过程中开展数学建模教学，是值得研究和讨论的课题。

PISA作为广受认可的国际学生评估项目，在评估学生的数学素养时，主张测量学生应用数学知识、技能解决现实情境问题的能力，將数学建模与数学素养紧密联系，并将数学建模周期理论作为整个评价框架的基石。而且，其评估对象是接近完成或已经完成义务教育的15周岁学生。所以，不管从测量内容上，还是从测量对象上，PISA的数学素养评价理论对初中数学建模教学都具有重要的指导意义。

一、PISA数学素养评价框架下的数学建模周期理论

PISA2015数学素养评价框架如图1所示。它包含了四种内容、四种情境、七种技能和四个过程，而最里层中心位置描述的就是数学建模周期。从PISA2003到PISA2015，虽然数学素养的评价框架中数学素养和七种技能等一些核心概念的定义都经过多次修改，但每一次都是以数学建模周期为基石，足见数学建模周期理论在PISA数学素养评价框架中的地位。

在PISA2003中，数学建模周期被称为数学化周期，由PISA2003数学专家组主席de Lange提出。de Lange是著名数学教育家，其领导的荷兰弗赖登塔尔数学教育研究所强调继承和发展弗赖登塔尔的数学化思想，认为将情境问题转为数学问题求解是一种数学化的体现，所以将这个流程命名为数学化周期。但是，由于数学化的内涵更为丰富，不仅包含与数学建模类似的从外部情境到数学内部的水平数学化，还包含数学系统内部的垂直数学化。所以，到PISA2012中，该流程改称为数学建模周期。一直到PISA2015，都延续了此名称。此名称也就成了PISA的一个核心专业术语。

PISA的数学建模周期，虽然有不同的提法，但是基本上大同小异，描述了应用数学解决现实情境问题的一个完整流程，包含了数学建模的多个不同阶段：从现实情境问题出发，通过数学化地表达，将情境问题转化为数学问题;然后，应用数学概念、事实和推理解决数学问题;紧接着，将数学结果阐释为情境结果;最后，应用情境结果对情境问题进行评价。当然，这只是一个数学建模周期，一个理想的简化版本，并不是说学生经历了这个周期，就可以完全解决情境问题。学生有可能进行到某一个过程时，会发现不合理，需要开始新的建模周期。例如，学生已经将情境问题转化成某个数学问题，但是在求解的过程中，发现数学问题无法解答，于是又回到情境问题，重新假设和抽象，转化成新的数学问题，开始新的数学建模周期。解决一个真实的情境问题可能需要数次迭代，经历多个数学建模周期。

二、PISA数学建模周期的三个过程

在数学建模活动中，鼓励学生经历完整的数学建模周期，培养学生完整的数学建模能力，是数学建模教学的最终目标。但是，PISA并不测量学生完整的数学建模能力。因为PISA是一个学生素养评估项目，需要学生在一定的时间内完成多道测试题目。例如，PISA2012的数学素养正式测试卷就包含了72道题目。如果每道题目都需要学生经历完整的数学建模周期才能解决的话，题目的难度就会剧增，学生就几乎不可能完成测试，也就达不到评估的目的了。所以，PISA数学专家组精心设计试题，使一道试题只考查一个过程——将涉及的其他过程都设计好，只预留一个过程给学生执行。

PISA认为，数学建模周期中的阐释和评估阶段对七个数学基本技能的要求较为相似，并且在正式测试条件下没有额外的资源来评估情境结果，所以，将这两个阶段合成一个过程，简称阐释。PISA2012数学素养评价框架就只包含三个过程：建模、应用和阐释。下文将详细阐述每个过程的定义，并通过PISA样题来解释这三个过程。

（一）建模

建模（formulate）是数学化地表达情境的简称，即“用数学方法描述情境”。在这个过程中，主要考查学生如何识别和确定情境问题的数学要素，怎么将情境问题数学化，怎么应用合适的数学结构来表示情境问题。这个过程可能包含若干认知活动：提取重要变量、识别情境问题中的数学结构（规则、关系和公式等）、简化问题、数学化问题、用不同的方法表示问题、利用数学语言表示问题等。

例如，PISA样题“比萨问题”就主要考查学生在这个过程中的表现：

比萨店提供两种相同厚度、不同尺寸的圆形比萨。小的直径为30 cm，价格为30 Zeds;大的直径为40 cm，价格为40 Zeds。

请问哪种比萨更划算？说明你的理由。

这里，Zed是PISA虚构的货币单位，主要是从公平的角度考虑，让来自不同国家和地区的学生处于同一情境中。在这个问题中，学生需要建立一个数学模型来刻画比萨的价值。当学生明确比萨厚度相同而直径不同时，就可以将问题平面化，只考虑价格与面积的关系即可。确定这两个变量后，学生需要建立表示单位面积价格的关系式，但不需要对关系式进行操作，只需代入数值比较大小即可。所以，这个问题主要考查学生将情境问题数学化的能力，可以归入建模过程子量表。这个子量表的试题数量约占总试题数量的25%。

（二）应用

应用（employ）是应用数学概念、事实、步骤和推理的简称，即“运用数学概念、事实、程序和推理”。这个过程主要考查学生运用数学概念、事实、过程和推理来解决数学问题，从而得出数学结论的能力，比如算术计算、解方程、从数学假设中进行逻辑推导、符号化、从图表中提取数学信息、在空间中表示和操纵形状、分析数据等。

例如，PISA样题“行走问题”就主要考查学生在这个过程中的表现：

图2显示的是一个人行走的脚印，步长p是指两个相邻脚印底部之间的距离。

公式n/p=140近似地描述了p与n的关系，其中n表示一个人每分钟行走的步数，p表示一个人以米为单位的步长。

（1）已知Heiko每分钟行走70步，如果这个公式可以刻画Heiko的行走，那么Heiko的步长是多少？

（2）已知Bernard的步长p是0.8米，应用这个公式计算Bernard的行走速度，分别以千米/分钟、千米/小时为单位。

这个问题的数学模型就是公式n/p=140，并且在题干中给出了。学生需要利用这个公式进行代数运算，并进行适当的推理，从而解决问题。这是一个典型的应用数学概念、事实、程序和推理解决问题的过程。所以，这个问题主要考查学生数学内部的问题解决能力，应该归入应用过程子量表。这个子量表的试题数量約占总试题数量的50%。

（三）阐释

阐释（interpret）是阐释、应用和评估数学结果的简称，即“数学结果的解释、应用与评价”。这个过程主要考查学生反思数学问题的解决方案、结果或结论，并在现实问题背景下解释这些数学结果和结论的能力。在这个过程中，学生要将数学问题解决的结果转换到情境问题中，并确定这种结果是否与情境问题相符，具有现实意义。

例如，PISA样题“垃圾问题”就主要考查学生在这个过程中的表现：

在一项关于环境的家庭作业中，学生们收集了人们丢弃的几种垃圾分解时间的信息，如表1。

一个学生想用条形图来显示结果，请给出条形图不适合显示这些数据的一个原因。

在这个问题中，数学结果已经给出，即一个条形图，学生需要根据情境问题来评价用条形图表示表格中数据的有效性，并给出理由。在情境问题中，已经给出了几种垃圾分解时间的数据，但是单位不同，学生需要从数学的角度思考数据与其表征之间的关系，并对表征的形式进行评估，提供条形图不适合显示所提供数据的原因。这个问题主要考查学生阐释、应用和评估数学结果的能力，应该归为阐释过程子量表。这个子量表的试题数量约占总试题数量的25%。

三、数学建模教学的相关思考

上述建模、应用和阐释三个过程是数学建模周期的理论浓缩，为数学建模教学提供了很多启示。

（一）关于数学建模能力的培养路径

虽然数学建模活动涉及的大多是校外情境问题，但是，解决这些问题必须以学生校内所学的数学知识、技能为基础。如图3所示，PISA认为，学生在数学建模周期的三个过程中，都有可能用到七种数学基本技能。因此，学生数学建模能力的培养应该从图3中第三层的基本技能开始，再到经历单个的数学建模过程，最后经历完整的数学建模周期。这样按部就班，循序渐进，帮助学生理解过程，体验过程，最终完成过程。

由于数学基本技能培养涉及日常教学范畴，这里不做深入讨论，但是其基础地位应该在数学建模教学过程中受到重视。特别值得一提的是数学工具的使用。数学工具包含物理工具（如直尺、量角器等）和电子设备（计算器、电脑等）。在信息化时代，使用信息技术解决数学问题的能力不仅是数学建模能力的基础，更是大数据和人工智能等先进技术的基础，培养学生这方面的能力在信息化时代尤为重要。

（二）关于数学建模任务的设计依据

《普通高中数学课程标准（2017年版）》建议以课题研究的形式在高中开展数学建模活动，在某种程度上是对大学数学建模活动方式的一种效仿。但是无论《义务教育数学课程标准（2011年版）》，还是已有的文献研究，鲜有关于初中数学建模活动形式的探讨。在初中学段，开展何种形式的数学建模活动是一个值得深入研究的课题。其中，最关键的问题是设计什么样的数学建模任务去开展数学建模活动。

对此，PISA的数学素养测试问题给了我们一定的启示。完整的、原汁原味的现实情境问题固然是好问题，但是，好问题也需要与活动对象、活动时间、活动环境相匹配。教师要因人制宜、因时制宜、因地制宜对真实情境问题进行深加工：不仅可以将问题细化到图3中的单个过程，而且可以细化到图3中的单个技能。将大问题微型化，使其可以方便快速地融入课堂教学，作为教学引入或课堂讨论的内容，从而在有限的时间里灵活地进行数学建模教学，在教师的引导下更加有效地帮助学生提高数学建模能力。

例如，对于数学建模活动“调查班级女同学拥有多少个布娃娃”，通过精心设计，可以产生不同的数学建模任务，聚焦不同的过程甚至技能。

聚焦“建模”过程的任务设计如下：

调查班上的八位女同学每个人拥有多少个布娃娃，请利用统计图表表示调查结果。

这个任务需要学生建立数学模型表示调查结果。

聚焦“应用”过程的任务设计如下：

小明利用饼状图呈现了他的调查结果，如图4所示。

根据小明制作的饼状图，以下哪一组数据符合小明的调查结果（）

A. 0，1，2，2，3，3，5，10

B. 0，1，2，3，5，6，9，11

C. 0，2，2，3，4，8，9，10

D. 1，1，1，1，4，4，8，8

E. 1，2，4，5，6，7，8，10

这个问题的数学模型（饼状图）已经建立，学生需要应用模型解决问题。

聚焦“推理与认证”技能的任务设计如下：

小芳利用条形图呈现了她的调查结果，如图5所示。根据小明与小芳的调查结果，列举出八位女同学拥有的布娃娃数量，并说明理由。

这个问题需要利用统计推理與认证能力解决。小明的调查结果表明：8人中4人有0—3个布娃娃，2人有4—7个，2人有8—11个。小芳的调查结果表明：8人中2人有1—2个布娃娃，3人有3—4个，3人有7—8个。综合可知：8人中2人有1—2个布娃娃，2人有3个，1人有4个，1人有7个，2人有8个。

（三）关于数学建模能力的评价维度

怎样评价学生的数学建模能力，特别是怎样开展数学建模的形成性评价，以给教学提供更多的诊断信息，是在初中阶段开展数学建模活动急需解决的问题。《普通高中数学课程标准（2017年版）》建立了“情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思”四个维度的数学素养评价模型，并以此为依据建立了高中生的数学建模素养三层次水平评价模型。虽然不能完全将高中的评价框架移植到初中，但是可以借鉴由评价维度决定评价水平的思想。

数学建模周期的三个过程，不仅可以作为学生数学素养评价的三个维度，也可以作为学生数学建模能力评价的三个维度。通过评价学生如何有效地参与数学建模周期的每一个过程，可以给教学提供丰富的诊断信息。在建模维度中，评价学生如何抽象情境问题中的数学元素，聚焦学生将情境问题转化为数学问题的能力。在应用维度中，评价学生如何计算和操作，应用所知道的概念和事实，寻找数学问题的解决方案，聚焦学生解决数学内部问题的能力。在阐释维度中，评价学生如何有效地反映数学解决方案或结论，并在现实问题背景下解释它们，确定其是否合理，聚焦学生将数学结果解释为情境结果的交流能力。

*本文系教育部人文社会科学研究规划基金项目“中小学核心素养测评的模型建构与实证研究”（编号：19YJA880012）和江西省高等学校教学改革研究课题“移动终端版数学软件在高等数学教学中的应用与实践——以GeoGebra为例”（编号：JXJG-16-10-6）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] OECD（2013）.PISA 2012 Assessment and Analytical Framework：Mathematics， Reading， Science， Problem Solving and Financial Lite-racy.Paris：OECD Publishing[EB/OL].http：//dx.doi.org/10.1787/9789264190511-en.

[2] OECD（2013）.PISA 2015 Draft Mathematics Framework.Paris：OECD Publishing[EB/OL].http：//www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Draft PISA 2015 Mathematics Framework.pdf.

[3] OECD（2004）.The PISA 2003 Assessment Framework：Mathematics， Reading， Science and Problem Solving Knowledge and Skills.Paris： OECD Publishing[EB/OL].http：//dx.doi.org/10.1787/9789264101739-en.