在理性分析中提升数学运算能力

丁益民

摘要：引导学生做好运算分析，帮助学生形成对数学运算的理性认识，提高学生的数学运算能力，是很有现实意义的。尤其是在解析几何题的解决中，应该重视运算的节点分析，做好运算微观思考;重视运算的过程分析，养成运算监控意识;重视运算的算理分析，总结运算基本经验。

关键词：数学运算能力 解析几何 解题教学

研究表明，我国高中生的数学运算能力不尽如人意，特别是在学习解析几何时，运算的问题更加突出，主要表现为畏惧运算、算不到底、不会巧算等。究其原因，一方面是教师只重视解题方法的传授，而忽视对运算的深度分析，缺乏对运算的示范与指导，特别是缺少对运算的预估、调整与优化;另一方面则是学生自身对运算的经验积累和方法改进不够重视，运算的水平依旧停留在小学或初中阶段，远远达不到学习解析几何所需要的能级要求。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了“数学运算”的定位：“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。”“通过高中数学课程的学习，学生能进一步发展数学能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。”

因此，引导学生做好运算分析，帮助学生形成对数学运算的理性认识，提高学生的数学运算能力，是很有现实意义的。本文尝试借助几道解析几何题的解决，谈谈笔者对数学运算能力培养的一些想法，敬请指正。

一、重视运算的节点分析，做好运算微观思考

对于解析几何题，教师往往在分析完思路后，便急匆匆地板演过程或让学生自己演算。在这样的过程中，学生体验的更多的是原有认知结构中的运算经验，而几乎没有新的运算经验。此时，应该慢下来，引导学生对已有算法设计中的每个运算节点进行慢镜头式的分析，对每个运算节点可能遇到的思维障碍、路径选择等进行剖析，并给出合理的改进措施与优化方案。

例1如图1，已知椭圆C：x24+y2=1上的两点M、N关于x轴对称，P是椭圆C上异于M、N的任意一点，直线PM、PN分别与x轴交于点R、S，O为坐标原点，求证：OR·OS为定值。

本题的算法设计（思路分析）如下：

1. 设出点P、M、N坐标（x0，y0）、（x1，y1）、（x1，-y1），并表示直线PM、PN的方程;

2. 求得直线PM、PN与x轴交点的横坐标xR、xS;①

3. 计算xR·xS。②

在此基础上，可以对其中的运算节点做进一步的剖析：

节点①是提升学生运算能力的一个重要节点。首先，在计算xR时，对-y0=y0-y1x0-x1·（x-x0），既可以直接展开后合并同类项，也可以先观察等号两边的展开项，再按照某个字母的降幂顺序依次书写系数。两种运算方式对学生思维的要求不同：前者是常规的展开运算，是单向的线性思维体现;而后者是对等式进行整体考量后的运算，是双向的整体思维表现。其次，在计算xS时，习惯上会运用“同理可得”，但是实际上，很多学生并没有真正理解“同理”的“理”在何处，因此，在最初运用“同理可得”时，教师应该讲清楚“理”，并尽可能地让学生自己完成，从而让他们体会到如何进行坐标替换的思维操作。

在节点②处，可以着重引导学生观察式子xR·xS=x21y20-x20y21y20-y21中字母出现的一致（如分子中的x21y20和x20y21）与差异（如分式中出现的纵坐标多，横坐标少），从而形成消元的方向与决策。

不难看出，通过慢镜头式的算法分析，学生的思维训练将由浅入深、从粗到细逐步展开，其中既有对已有运算经验的强化与调整，也有借鉴已有结果的反思与模仿，还有对代数式观察、运算对象监控等多重的思维训练。由此，学生的数学思维品质和数学运算能力都将得到相应的提升。

二、重视运算的过程分析，养成运算监控意识

解析几何运算让很多学生望而生畏的一个重要原因是，对影响运算长度、速度等因素的预判容易出问题，具体表现为不能估测到选择的运算方向将会产生怎样的运算，以及难以估计到已有算法设计与自身运算水平的差异而导致的运算速度的差异。教学中，教师应该引导学生对已有算法设计中的运算过程进行分析，做好运算监控。

例2如下页图2，已知A、B分别为椭圆E：x24+y2=1的左、右頂点，C为（1，0），圆x2+y2=4上有一动点P在x轴的上方，直线PA交椭圆E于点D，连接PB、DC。

（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面积S;

（2）设直线PB、DC的斜率存在且分别为k1、k2，若k1=λk2，求λ的取值范围。

本题第（2）问有多种运算方向（算法设计），其中一种如图3所示。

在上述算法设计中，至少有三处运算可引导学生进行预判与调整：

在①处，一般而言，椭圆上的点有两种设法：直角坐标（x0，y0）和三角参数形式（acosα，bsinα）。两种设法各有特点。应该让学生感受到不同设法的运算长度不同：设成直角坐标（x0，y0）简单明了，但可能因为变量（字母）较多，后续消元时较易迷失方向，导致运算受阻;而设成三角参数形式（acosα，bsinα）变量较少，化简方向不会乱，但对三角恒等变换的运算要求较高，可能因为对三角恒等变换的不熟练，导致运算受阻。同时，应该让学生根据自身水平合理选择设点方式，由此形成相应的活动经验。

在②处，对已有直线之间斜率关系观察的差异将影响运算的长度。若不能发现两直线垂直的斜率关系，而先求出点P坐标，再表示k1，则会大大增加运算量。应该让学生体会到通过观察发现斜率之间的关系对运算长度的影响。

在③处，运算速度的差异体现在对常见代数结构信息反馈的差异上。若能注意到齐次分式而采取分离常数的运算操作，则比较容易获得结果。否则，会逗留于此，延缓运算速度。

由此可见，通过对解题过程中各个环节的运算实施监控，学生能体会到预判运算长度、速度等的真正意义，实时地改进运算的策略和方向。这从根本上提高了运算的可控性，增加了运算的合理性。久而久之，学生将形成良好的运算意识和理性的运算习惯。

三、重视运算的算理分析，总结运算基本经验

数学运算教学常常会变成追求速度、准确率的技能训练，让学生疲于“死算”，忙于“瞎算”。这样的训练方式对学生数学素养的提升是不利的。数学运算是演绎推理的一种形式，离不开算理的支撑。算理是客观存在的规律，能为数学运算提供正确的思维方式，从而保证运算的合理性和正确性。实际上，每个运算环节中都蕴含着相应的“算理”，我们应该帮助学生分析这些算理，从而指导运算;让学生体会到算理是进行一类运算的客观规律，进而提高运算的严密性和可操作性。

例3如图4，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（1， 0），离心率为22。分别过O、F的两条弦AB、CD相交于点E（异于A、C两点），且OE=EF。

（1）求椭圆的方程;

（2）求证：直线AC、BD的斜率之和为定值。

对于本题第（2）问，有学生这样解答：

由OE=EF知直线AB、CD的斜率互为相反数，设直线AB的方程为y=kx（记为①），直线CD的方程为y=-k（x-1）（记为②），将方程①、②分别与椭圆方程x22+y2=1联立，可解得点A、B的横坐标分别为±22k2+1，点C、D的横坐标分别为2k2±2（k2+1）2k2+1，所以kAC=yA-yCxA-xC=……kBD=yB-yDxB-xD=……

这里，学生运算受阻的原因是，过早地出现了含有根式的坐标，导致出现分子、分母都含有根式的复杂分式运算。教师可以对此予以指导，并揭示相应的算理：

指导1：不求根，先化简再代入策略。

能不能不求根而直接利用韦达定理？为此，设出坐标是必要之举，可通过坐标之间的关系进行化简是优化运算的重要处理：kAC=yA-yCxA-xC=kxA+k（xC-1）xA-xC=k（xA+xC-1）xA-xC，kBD=yB-yDxB-xD=kxB+k（xD-1）xB-xD=k（xB+xD-1）xB-xD。这里，可以进一步引导学生思考：求kBD时是否可以借鉴kAC的形式将其中的坐标换成类似的坐标？这是一种操作性思维活动，即在已有思维成果的基础上通过合情推理得到新的思维结果，无疑更有利于学生的思维训练。

接下来，便是对上述两式进行关联性分析：变量之间有什么关系？变量的个数能否减少？学生在引导下，会发现A与B、C与D之间是相关联的。而这些发现又使计算得以进一步优化：kAC+kBD=kxA+xC-1xA-xC+-xA+xD-1-xA-xD=k-2x2A-2xCxD+xC+xD（xA-xC）（-xA-xD）。经过优化处理，变量之间的关系变得更加清晰，为進一步使用韦达定理提供了心理暗示。

上述运算以分式求和“先化简再代入”为算法——这在初中代数运算时早已学习过。这样做的好处就是可适当减少一些数据的干扰和避免过早出现复杂分式的困境。这是一种算理的体现，应让学生体会到。

指导2：先分后合，局部处理策略。

出现分式结构时如何避免形式的繁杂呢？实际上，对待分式化简问题，往往可以将分式分解成若干部分后采用局部处理，再将各部分的结果合成为整体。经验告诉我们，处理分式时，通常比较容易把握分子的运算。因此，可以先从分子入手计算，即-2x2A-2xCxD+xC+xD=-2×22k2+1-2×2k2-22k2+1+4k22k2+1=0。出现上述结果是很顺利的。倘若结果不为0，可以引导学生进一步分析（还要计算分母），也照此运算，最后合成得到最终答案。

采用从局部到整体的处理方式，可以将复杂问题转化成相对容易操作的问题进行研究，减少运算的压力及多余运算的干扰。这同样是一种算理。学生充分体会到各种算法下的算理时，便能自觉地产生同化与顺应，逐步转化为理性运算的能力。

参考文献：

[1] 张小鸽.高中学生数学运算能力调查和分析研究[J].陕西教育（教学版），2012（9）.

[2] 陈玉娟.例谈高中数学核心素养的培养——从课堂教学中数学运算的维度[J].数学通报，2016（8）.

[3] 石志群.对数学核心素养几个问题的思辨[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（11）.