指向核心素养的“一元一次方程”的教学及其分析

王可芳

摘要：促进学生发展数学核心素养需要过程教育，但在以“一元一次方程”为载体的研修活动中发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题。研究者在重复观摩与反思的基础上对该课的教学进行重建，改进后的教学方案实践后取得了较好的教学效果。

关键词：数学素养;过程教育;一元一次方程;教学方法;教学分析

一、背景介绍

数学教育中的“立德树人”，以数学核心素养为统领。“数学核心素养是学生经历数学化活动之后所积淀和升华的产物”。由此可知，促进学生发展数学核心素养需要“过程教育”。但笔者在以浙教版数学七年级上册第五章第1节“一元一次方程”为载体的“多人同课异构”的研修活动中发现，课堂教学普遍存在过程教育不到位的问题。鉴于此，笔者在重复观摩与反思的基础上对该课的教学进行重建，改进后的教学方案实践后取得了较好的教学效果。本文呈现改进后的教学过程，并提供教后分析，供读者参考，研究。

二、教学实录

环节1：经历产生对象与提出问题的过程——明确研究问题。

师：我们知道，含有未知数的等式叫作方程，我们以前曾经学过怎样列算式、列代数式和列方程，那么，根据下列问题的条件，我们可以列出怎样的算式和方程？

（1）“双十一”期间，“银泰百货”搞促销活动。若一件衣服按8折销售的售价为72元，则这件衣服的原价是多少元？

①求这件衣服的原价可列出算式： 。

②若设这件衣服的原价为x元，则可列出方程：

。

（2）物体在水下，水深每增加10.33米承受的压力就会增加1个大气压。当“蛟龙”号下潜至3500米時，它承受的压力约为340个大气压。当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？

①求它又继续下潜的深度可列出算式：         。

②若设它又继续下潜了y米，则可列出方程：

。

（3）小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投了20次。小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球。小杰和张明各投进多少个？

①求张明投进的个数可列出算式：。

②若设张明投进z个，则可列出方程：         。

（学生自主列式，教师巡视指导）

师：谁来汇报所列的算式和方程？

生1：（1）算式                  ，方程                   ;

（2）算式                                 ，方程                ;

（3）算式                          ，方程                      。

生2：（1）方程                        ;（2）方程

。

生3：（2）方程                                                ;

（3）方程                           。

师：不错。不同的着眼点，可以得到不同的方程。

师：列方程的依据是什么？列方程的目的是什么？

生4：依据是问题中的等量关系，目的是将实际问题转化为数学问题。

师：列算式简单还是列方程简单？

生5：列方程比列算式简单。

师：事实上，方程中的字母（未知数）和已知数享有同等地位，并且可以参与运算。方程打破了列算式时只能用已知数的限制，使得列方程要比列算式思考起来更直接，更自然，从而为解决问题带来更大的便利。

师：正因为用方程解决实际问题是人类的一个伟大创举，就有系统地研究方程的必要。像研究代数式一样，我们在认识方程概念的基础上，采用从简单到复杂的研究策略，先来研究最简单的方程的特征、解法及其应用。（揭示课题）

环节2：参与定义对象的活动——形成一元一次方程的概念。

师：方程                  与算式                相比有何差异？

生6：算式              只含有已知数，而方程

有已知数，也有未知数。

生7：算式                表示计算的程序，而方程

表示数量的相等关系。

师：不错。方程                   与整式           相比分别有何差异？

生8：整式          表示某种量，而方程

表示某种量的相等关系。

生9：整式         中的字母表示某种量且可取不同的值，而方程              中的字母表示某个特定的未知量。

师：方程                     ，                                  ，

有何共同特征？（提示：可從字母个数、字母次数、代数式的类型等多个角度观察）

生10：它们都含有一个未知数。

师：你是从未知数的个数角度来归纳。

生11：它们未知数的最高次数都是1次。

师：你是从未知数的次数角度来归纳。

生12：它们左右两边都是整式。

师：你是从代数式的类型角度来归纳。

生13：它们都是等式。

师：你是从左右两边数量关系的角度来归纳。

生14：它们都不是算式。

师：你是借用算式的概念来归纳。

师：由此可知，它们的本质特征是“一个未知数”“未知数的最高次数是1次”“整式”。

师：一般地，等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次，这样的方程叫作一元一次方程。像方程的解的概念一样，能使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元一次方程的解，也叫作一元一次方程的根（含有一个未知数的方程的解也可以称为方程的根）。

师：这里“一元”“一次”的含义分别是什么？

生15：“一元”是指“一个未知数”，“一次”是指“未知数的最高次数是1次”。

师：不错。我们获得一元一次方程的概念经历了哪几个步骤？

生16：列方程→观察所列方程的特征→归纳所列方程的共同特征→命名这样的方程。

师：这个获得概念的思维过程我们以后会经常用到。

师：大家认为还需要进一步研究什么？

生17：像研究算式、代数式一样，还需要研究如何求一元一次方程的解。

师：有道理。引进一个对象，就要研究它的运算。

环节3：探索解特定的一元一次方程——生成“尝试检验法”。

师：在上面“小强、小杰、张明参加投篮比赛”的问题中，我们列出的方程是“                    ”，能用方程解的概念来求这个方程的解吗？

师：这个问题中的未知数z有何特征？

生18：z是自然数。

师：z的大致取值范围是什么？

生19：z的大致取值范围是0到20中的自然数。

师：z在这个取值范围内可取哪些值？

生20：z在这个取值范围内可取12到18中的自然数。

师：将z可取的值分别代入代数式                   ，

其对应的代数式的值分别是什么？

生21：计算结果可用下表表示：

师：根据方程解的概念，哪个z的值是方程

的解？

生21：z=15。

师：这种解方程的方法叫作尝试检验法。其依据是方程解的概念，其基本过程是：先确定未知数的一个较小的取值范围，再确定未知数可取的值，然后逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解。

师：大家对用尝试检验法解方程有何感触？

生22：用尝试检验法解方程比较费时。

生23：它只适用于未知数是整数且取值个数有限的情况。

师：不错。尽管用尝试检验法解方程比较费时，但它也是解决问题的重要方法，在数学竞赛中会经常用到。不久我们就能知道，解一元一次方程还有更简单的方法。

环节4：参与尝试知识应用的活动——合作解答有代表性的问题。

首先，教师要求学生完成课本第115页的练习题1～3，并待学生完成任务后组织学生进行交互反馈与评价。

其次，要求学生解答下列问题：

（1）若x=-4是一元一次方程6-ax=x的解，则a的值是什么？

（2）先填写下表，再说出方程3x-6=x（x是自然数）的解。

x 0 1 2 3 4 …

3x-6 -6 …

最后，引导学生反思：解答上述问题的依据分别是什么？判断所给的值是不是给定方程的解怎样表达？

环节5：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结（略）。

三、教学分析

一元一次方程可以看成是从实际问题中抽象出来的，也可以看成是从等式概念中演绎出来的，但采用“从实际问题中抽象出来的”的看法，更能反映方程的数学本质，更能使学生感悟研究一元一次方程的意義。一元一次方程可以采用白描方式定义，也可以采用归纳方式定义，又可以采用抽象方式定义，但观察、归纳具体一元一次方程的共同特点有能力发展点，所以定义一元一次方程宜采用归纳方式，它要遵循用归纳方式定义的概念的认知过程观。用尝试检验法解一元一次方程的教学性质是问题解决教学，它要遵循问题解决教学的基本规范。

本课例在精致化分析的基础上，用抽象方式产生研究对象，用归纳方式定义研究对象，有针对性地设计了“提出问题（从具体问题出发）→操作观察（列方程并观察其特征）→归纳抽象（归纳所列方程的共同特征，抽象所列方程的本质特征）→表达概念（用归纳的方式表达概念）→研究解法（用尝试检验法解特定的一元一次方程）→解决问题（用获得的概念解决有代表性的问题）→反思内化（欣赏概念，感悟研究过程和其中所蕴含的数学思想等）”的教学过程。

参与研修的教师普遍认为，本课例遵循了概念教学的基本规范，体现了过程教育和以学为中心的思想，能实现“能根据简单实际问题的条件列出方程，能感悟研究方程的意义;能发现一元一次方程的本质特征，会用文字语言表达一元一次方程及其解的概念，能积淀多角度观察事物特征的经验和体会归纳思想;会模仿样例用尝试检验法解特定的一元一次方程，能积淀用尝试检验法解方程的经验;能识别一元一次方程，能用一元一次方程及其解的概念解决有关问题”的教学目标。

因此，过程教育理论下的概念教学的重要标志是：根据概念的定义形式有针对性地设计教学，并引导学生经历完整的认知过程;根据概念的地位与作用和所蕴含的教育价值选择教学的侧重点;根据概念的抽象程度、教学要求和学生实际选择教学载体与方法。一般地，在组织实施概念教学活动时，教师要从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，要留给学生足够的自主思考与实践的时间和合作交流的机会，要合理评价学生在数学活动过程中的表现，以促使学生发展数学核心素养。

参考文献：

[1]孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J].初中数学教与学，2017（9）：3.

[2]邬云德.旨在统筹兼顾过程与结果的过程教育理论[J].中学数学，2017（11）：62-64.

（责任编辑：韩晓洁）