从一道题中用多种方式求解加速度引发的思考

郎长红 于志远

摘 要：在连接体问题中关联速度是我们经常讨论的问题。但是已知速度的表达式，怎么求出加速度呢？我们可以从多个角度对加速度来进行求解：比如根据受力，利用牛顿第二定律、或者已知速度表达式，对速度进行求导、已知位移表达式，对位移求二阶导...... 本文就是以一道题为例，用多种方式求解加速度，通过多媒体软件的应用，可以画出任意函数表达式的图像，方便理解物理量的极值。

关键词：运动的分解 关联速度 几何画板 求导

一、从一道题中看求解加速度的多种思路

（一）题目：

为了将一尊雕像搬运到半坡的平台上的C处，牵引车通过定滑轮用钢丝绳来牵引雕像运动。在搬运过程的某段时间内，牵引车向右以速度v做匀速运动，雕像受到的摩擦阻力不计，则

A.雕像的速度越来越大

B.雕像的速度越来越小

C.钢丝绳的拉力越来越大

D.钢丝绳的拉力越来越小

在这道题目中，根据运动的分解，很容易判断出雕像的速度 在增大。把雕像的速度 分解成沿绳方向的速度 和垂直于绳的速度 ，其中沿绳方向的速度 与牵引车的速度 v相等，是不变的。假设绳与斜面的夹角为θ，雕像的速度等于 ，θ越大，cosθ越小， 越大。A选项正确。 但是加速度的变化则不好判断，所以不能简单地说速度增大，绳的拉力就增大。那么如何判断拉力或者雕像的加速度如何变化呢？

（二）方法1：

第一种方法可以直接定性分析：当θ由0增加到90°，根据表达式 ，速度 在θ角变化的过程中逐渐趋近于无穷。而作用在物体上的力一定是个有限的值，在有限的位移要将速度增大到无穷大，加速度应该逐渐增大。所以C选项正确。但是这种方式解释起来显然没有说服力，我们都知道雕像速度具体的表达式，也很想得到雕像的加速度的表达式。

（三）方法2：

第二种方法是把运动分解为垂直于绳的运动和平行于绳的运动。平行于绳的运动与牵引车相同，即匀速直线运动；而垂直于绳方向的运动则是可以分为无数个小段，每一小段都可以看成是匀速圆周运动的一部分，而圆心就是定滑轮，半径就是绳长。这是高中物理非常常见的微元思想，在圆周运动这一章中常用于分析变速圆周运动。设α是绳与竖直方向的夹角，雕像垂直于绳的速度 ，根据牛顿第二定律，绳的拉力T与重力垂直于斜面分力 二者的合力充当向心力，即 。α在减小，重力的分力 在增大，垂直的速度 在增大，绳长L在减小，那么需要的向心力增大，所以绳的拉力 增大。所以C选项正确。

（四）方法3：

第三种是将雕像沿斜面的位移与时间的关系写出来。对这个式子求一阶导数，即得出沿绳方向的速度与时间的关系式。再求二阶导数，得出加速度与时间的关系式。然后用几何画板画出此关系式的图像，看图像的变化情况。

设初始状态雕像和定滑轮之间的距离是L，定滑轮和斜面的的距离是h，牵引车的速度是v，雕像初始位置为坐标原点，运动的时间t。则雕像沿斜面的位移 ，雕像沿斜面的速度 ，雕像的加速度 ，其中 是位移s的一阶导， 是位移s的二阶导。整个过程满足 ，即 。

一阶导：

二阶导：

根据

所以时间t变大时， 变大，即a变大。

上式的 ，在几何画板中将速度v设定为1m/s，h设定为1m。而初始的L值分别设定为10m、15m、25m、35m甚至更大，都可以看到 在逐渐增大，存在最大值。

这样雕像沿斜面的加速度a的变化情况就一目了然了，再将雕像受到的绳的拉力和重力往沿斜面方向分解，沿斜面的合力F=Tcosα-mgsinβ，加速度 ，α逐渐变大，cosα逐渐减小，重力的分力mgsinβ不变，沿斜面方向的加速度又在逐渐变大，所以绳的拉力逐渐变大。所以C选项正确。

二、多媒体对教和学的助力

在上题中想要得出加速度的变化规律，除了会对沿斜面的位移对时间求二阶导数以外，最重要的是得到导数表达式，还要能够看出它的极值。可是这种复杂的表达式，极值根本不容易判断，这时我们借助了几何画板的画函数图像功能。其实几何画板功能十分强大，除了能够画图，还能够画动态图像、度量角度、长度、面积等。类似的超级画板、Excel、matlab等等都有很强大的画图和处理数据的功能。有了这些软件的助力，教学中我们可以处理目前数学水平解决不了的物理难题，还可以缩短做图时间。

比如以前我就用Excel的散点图功能处理数据，在验证加速度与力、质量的关系的实验中，我们通过控制变量得到了加速度和力成正比，但是当研究加速度和质量的关系时，就遇到了一些难题。我们发现加速度和質量不是简单的正比关系，我们需要进一步寻找二者之间的关系，比如接着探究是否是反比关系？或者加速度与质量的平方成正比？与质量的二次方根成正比？我们从反比开始入手，这时我们用Excel中求倒数的计算功能快速得到实验数据的导数，然后用加速度和质量的倒数这两组数据作散点图。图像中明显看到加速度与质量的倒数成正比，也就证明了加速度与质量成反比。

再比如在电磁学中，3D打印技术让得到任何形状的电场线和磁感线变成可能，我们可以勾画出任意场源的电场或者磁场。这让看不见、摸不着的场形象化、具体化，甚至学生使用3D打印笔在课堂上就可以现场制作某些场源的电场线或者磁感线，让探究式学习落到实处。

教和学中都需要多媒体的帮助，期待科技的快速发展，更期待更多的科技与教学的融合。