浅谈中学数学解题教学中化归思想的培养

李朝文

【关键词】  化归思想 方法渗透 几何图形 代数知识 化繁为简 简单化原则

【中图分类号】  G633.6             【文献标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2019）22-109-01

“把待解决的或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者较容易解决的问题中去，这就是所谓的化归的思想。”对此，匈牙利女数学家罗莎·彼得有一个精彩的比喻：摆在你面前的有水龙头、水壶、煤气灶和火柴，任务是烧开水，你将怎么办？毋庸置疑，答案是打开水龙头，把水壶注满水并放到煤气灶上，然后划着火柴，点燃煤气灶烧开即可。数学家的这种方法看似笨拙，但它的强大之处在于可以凭此解决一类问题，想必大家也能有所体悟。那么在解题教学中我们又将怎样进行化归意识的渗透，从而培养学生的化归思想呢？

一、渗透“方法”，了解“思想”

在求解几何图形的面积问题中，公式纷繁复杂，但是究其本质，其基本公式不过两个：一个是矩形的面积公式S矩=a·b（a为长，b为宽），一个是圆的面积公式S圆=π·r2，那么我们在解题教学中，就可以很好的进行方法的渗透。比如：在讲解三角形、平行四边形、梯形等几何图形的面积公式时，就可以适当渗透化归的思想，使学生初步了解这些面积公式的推导是通过将原图形进行割补转化为矩形，从而利用矩形面积公式变形而来的。又如：求解扇形面积，圆锥侧面积，圆台侧面积……我们可以用补形或展开的方式把复杂的图形转化为基本的圆形，再通过圆的面积公式求解，使问题简化、易求。教师要善于把握渗透的契机，潜移默化的播下化归思想的种子，等待着秋天的来临。

二、训练“方法”，理解“思想”

只想不做，难免眼高手低，犹如使筷子，左手天天看着右手如何夹菜，以为这是一件很简单的事情，可是真正轮到左手去夹菜的时候才发现费了半天劲，却还是夹不上菜。化归思想的培养也是如此，需要不断训练，加深理解。如：在求三角形的内角和的时候，我们可以引导学生利用平角为180°的知识，对三角形的三内角进行转化，力求把三个角拼成一个平角，从而求出其内角和;在求多边形的内角和的时候，我们可以引导学生利用三角形的内角和为180°的知识，对多边形进行转化归结为（n-2）个三角形，然后再来寻求其内角和的度数……通过不断的训练，使学生能够逐步掌握化归的方法，加深对化归思想的理解。

三、掌握“方法”，运用“思想”

化归思想贯穿于数学课本之中，它是构成数学教材的“血脉”灵魂，有了它，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的存在。纵观整个数学教材，你会发现这一特点。比如：教材的编写通常都是先学习x=a接着学习ax+b=0，继续学习ax+b=0cx+d=0，然后学ax2+bx+c=0（a≠0），再学习axn+bxn-1+……+cx+d=0，依次递增……虽然形式越变越复杂，但是后续所学的所有方程的解法均可以化归为x=a，当然其中要用到一些化归中常用的消元、降次的方法。这就好像x=a是圆心，其衍生的知识是一个未知半径的圆，不论这些知识如何庞大、高贵，最终它还是脱离不了圆心，还是得回归母亲的怀抱。如果我们明白并掌握了其中的道理，那么我们就可以运用这些思想方法去学习更高层次的数学知识，可以去解决更多未知的问题。现在回过头来看看2010年广州数学中考卷第19题：“已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值”。这题看来比较陌生，代数式也较为复杂，但是只要我们通过Δ=b2-4ac求出的关系，就可以通过代入消元的思想把要求解的代数式消元简化，从而求解。此题渗透了化归的思想，如果学生对于化归的思想方法掌握较好，那么解决此题就易如反掌了。所以我们在遇到问题的时候，多去想想可以将此类问题进行怎样的转化，解决此类问题可以运用哪些方法，从而逐步实现由方法到思想的升华。

四、提炼“方法”，完善“思想”

运用化归思想解决问题有其独有的原则和特定的方向。化归思想的主要原则有“具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。”而其特定的方向一般为：化难为易，化繁为简，化抽象为具体，化陌生为熟悉，化一般为特殊，化“高次”为“低次”，化“多元”为“一元”……所以我们在运用化归思想的时候要把握其方向，遵循其原则，才能更高效的解决问题。例如：在求解方程的时候，首先应该想想如何降“高次”为“低次”，如何化“多元”为“一元”;在求解数列的通项公式中，应该想想如何进行变换，把复杂的数列分割为等差或等比数列;在求函数解析式时，应该想想如何利用参数化繁为简、化陌生为熟悉;在求解图形面积的时候，应该想想如何用割补法把不规则图形转化为已知图形进行求解;在处理立体几何的问题时，应该想想如何把空间问题转化为平面问题;在探究函数的图像和性质的时候，应该想想如何进行图形变换，把未知图形转化为已知图形进行研究;在解析几何中，应该想想如何“以形助数，以数解形”……

目前的教学中有不少的教师重知识轻方法、重结论轻思想，忽視了教学的过程目标，导致很多学生走入社会的时候，就像一块装了大量结论性知识的电脑芯片，缺少灵活性、独创性，缺乏强有力的思想体系作为支撑，故难以适应知识不断更新，信息瞬息万变的时代。在中学数学的解题教学中，教师应该带着化归意识，深入钻研教材，充分挖掘和提炼教材中的化归思想，在教学的过程中逐步对化归思想进行渗透、训练和应用，并通过具体的问题情景反复实践，从而使化归的思想在学生的脑海里生根发芽、茁壮成长，以期达到呼之则来、挥之不去的效果。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。

[ 参  考  文  献 ]

[1]苏炳堂.浅谈化归思想在中学数学中的应用[J].中小学教育，2013，（11）.

[2]李玉玲.数学中的“化归思想”的应用[J].中国科技博览，2010，（30）.