几何直观在代数领域的构造与运用策略
2019-07-19胡良梅
胡良梅
【摘 要】几何直观侧重于意识和思维方式,主旨是化解抽象,加深学生对数学的理解。数学的各个领域都可彰显几何直观的优势。在代数领域,几何直观优势的发挥,需要积极寻找数学对象的直观模型,通过画出数的特征、揭开特征的面纱以及画出运算方法、理解算法的意义和画出数量关系、明晰解题思路等策略,积极构造易于理解和运用的直观形式,从而发挥其价值。
【关键词】几何直观;代数领域;构造
儿童学习数学的主要矛盾是抽象和形象的矛盾,几何直观是化解这一矛盾的有效措施。何为“几何直观”?《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题,借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。”几何直观,本质是借助直观图形获得感性认识,描述、分析、理解问题,几何直观是种意识,是种思维方式,也是教学手段,它的主旨是加深学生对数学的理解,它存在于数与代数、图形与几何、统计与概率等数学学习的各大领域教学中。
在代数领域,几何直观怎样才能发挥更广的价值?教师可积极寻找数学对象的直观模型,构造易于理解和运用的直观形式,努力发挥几何直观的价值。现举例分析如下。
一、画出数的特征,揭开特征的面纱
小学阶段,认识自然数、分数、小数,都是通过大量使用几何直观,如小棒图、数珠图、算盘图、立方体模型图、面积模型图、特殊米尺图等来完成的。除去教材编写的这些几何直观,教学中还可以怎样构造直观呢?
(一)逆向拓展,构造直观
教材编排认数的逻辑顺序一般是:直观图—数珠—数的符号,学生经历的是从具体数量逐步抽象,并用数学语言进行表达交流的过程。其实,还可以反其道而行之,引导学生经历从抽象到具体的构造直观的过程。如用不同图示画出一个数:10表示什么意思?你能画图表示吗?学生可以画出10朵花、10根小棒、10个圆圈等具体情境图,也可画出1捆小棒、1个直条长方形等比较抽象的直观图。接着,教师出示:8个大大的圆圈图和2个非常小的圆圈图,问:这幅图能用10表示吗?强烈的大小反差,冲击着学生的思维,有学生认为不能。经过辩论,最后明确大小虽不同,但不影响数量的表示,这就加深了学生对数字10抽象意义的理解。之后,教师可再追问:与前面学习的0~9相比,10有什么不同?你能画图说明吗?学生想到用计数器图表示10占有两个数位,并且发现10已经不再用新的数字计数,是用已学过的1和0计数……在这个创造图示并区分、拓展的思维经历中,有抽象素养的自然孕伏,还有伟大的十位进制原理的体验,学生历经了数的概念的理性认识过程,思维能力切实得到了提升。
(二)深入组成,构造直观
知道数的特征是什么,还要理解数的特征为什么,才能揭開特征的面纱,促进学生的深度学习。如2,5倍数的特征,为什么只要看个位?3倍数的特征,为什么要看各个数位上数字相加的和?用直观图示画出数的组成,可促进学生知其然并知其所以然。
看图可直观理解:多位数是整百整十和个位数合成的,前面的整百整十确定是2,5的倍数,所以关键看后面的个位。并且,个位数除以2或5得到的余数,与多位数除以2或5的余数具有一致性。3的倍数特征也同样可以这样构造直观,促进理解:245÷3=(200+40+5)÷3,一个百除以3会余1,2个百除以3就余2……几个百除以3就余几;一个十除以3会余1,2个十除以3就余2……几个十除以3就余几。(图略)
二、画出运算方法,理解算法的意义
整数、小数、分数的四则运算,也在一直使用几何直观。如整数的加减乘除,离不开小棒图、点子图的拆分组合,分数乘法的计算离不开直观图的探索理解等。那么,在数的运算学习中,又该如何引导学生去主动构造几何直观呢?
(一)材料促思,构造直观
除法竖式的理解,一直是学习的难点。如教学92÷30时,部分学生会认为商是30,如果简单否定,或是单纯依靠正面示范和反复练习,效果不尽理想。这时,可引导学生主动构造直观:给学生提供方格纸,让学生借助直观的格子图圈一圈、画一画,再通过交流和追问,学生就会结合直观模型“自我否定”,完善认知建构,形象理解商和余数的意义。一些特殊的、复杂的、抽象的运算,也可引导学生主动构造直观探索简便算法。如:
(二)模型引路,构造直观
分数除以分数,苏教版教材分三步进行:分数除以整数—整数除以分数—分数除以分数。从平均分[45]升果汁—平均分4个橙子—包含分4米长的彩带—包含分[910]升果汁,素材选取的都是同类量的分一分,比较单一,学生因此形成的理解也比较肤浅。为了丰富分数除法的数量关系,加深学生对算理的理解,可增设素材,构造不同的直观模型。如一辆汽车行[34]千米用汽油[15]升,1升汽油可供这辆汽车行驶多少千米?画出[34]÷[15]的计算过程。
将1升汽油看作一个长方形,平均分成5份,其中1份是[15]升。将每个[15]的小长方形平均分成4份,表示其中的3份,[34]千米对应[15]升,那1升对应的就是5个[34]千米,是[154]千米,就是[34]÷[15]=[34]×5=[154]千米。当然,还可以构造线段直观图(如右图)。有了这些丰富的直观理解 ,在后续的学习中,学生就能依据这些模型自主构造直观,深刻理解分数除法转化为乘法过程的实际意义,灵活解决问题。
三、画出数量关系,明晰解题思路
很多实际问题中的信息和数量关系都是可以画出来的。从低段教学开始,可以先试着画直观形象的示意图、直条图、线段图,到了高段,还可以适时引进矩形图、韦恩图等。
(一)于题意混淆处构造示意图
如乘加对比实际问题,部分学生往往混淆不清,类似下图这样的题目就可以引导学生画示意图
帮助理解。也可以改为:姐姐送给弟弟9枚邮票后,两人邮票的枚数同样多。原来姐姐比弟弟多多少枚?学生往往易理解为姐姐比弟弟多9枚。可先指导学生画实物示意图帮助理解,再改动小数字为大数字,体验示意图的局限性,逐步抽象出直条图、线段图。
(二)于题意不明处构造矩形图
苏教版四年级下册“解决问题的策略”,重点编排了线段图和矩形图。如:扩建校园时,一个正方形操场的一组对边各增加18米,操场的面积就增加了900平方米。原来操场的面积是多少平方米?其中“一组对边各增加18米”学生不明白是什么意思,可借助直观的矩形图帮助分析,理解其中的数量关系。其实,矩形图除了用于面积,还可迁移到更广的范围。如同类数量关系的直观揭示、方法多元的思路寻求等。例如:美术小组计划买20盒彩笔,每盒15元。实际每盒涨价3元,且多买5盒,实际多花多少元?图中阴影部分就是多花的钱,借助矩形图的直观构造,可以探索不同的解题思路。
(三)于数量隐蔽处构造韦恩图
如大家都熟悉的包含問题:一个班有35人,老师问:做完语文作业的请举手。有18人举手。又问:做完数学作业的有几人?请举手。有21人举手。最后问:语文和数学作业都没有做完的同学有吗?没有人举手。请问,语文和数学作业都完成的有几人?题中的数量关系比较隐蔽,部分学生会觉得很难理解。如果能够帮助学生构造几何直观,就会非常清楚。
先画出一个班的35人,从左边数18人是完成语文作业的,圈一圈;从右往左数21人是完成数学作业的,再圈一圈。借助直观图很容易看出重叠的4人就是既完成语文作业又完成数学作业的人数。进一步,还可以逐步抽象出韦恩图。
(四)于关系复杂处构造线段图
小学高段的实际问题往往数量关系复杂,为了化繁为简,化隐为明,教师可指导学生积极构建线段图。如,学校要组织两组队员去牡丹园春游。牡丹园距离学校有15千米,比较远,并且学校只有一辆校车,每次最多只能容纳一组的学生。假如车速每小时48千米,步行速度保持每小时4千米,请问,两个小组怎样轮流乘车,才能保证最短时间内同时到达?读完题目,似乎无从思考,不妨构造线段图帮助分析。思考:校车从A点出发,先把第一小组送到C点,立刻回头刚好到B点接送第二小组,最后两个小组一起到达D点牡丹园。为了保证公平,两个小组步行路程相同,即AB=CD。因为车速是步行速度的12倍,把AB路程看作1份,相同的时间内,校车行驶的路程就是12份,即BC之间的路程就是(12-1)÷2=5.5份。由此得出每个小组步行的路程是15÷(1+5.5+1)=2千米。
借助直观的线段图帮助分析,数量关系明晰可见,问题迎刃而解。其实,许多复杂的行程问题都可构建线段图简明数量关系。再如比较经典的年龄问题:徒弟问师傅今年多少岁?师傅说:“当我像你这么大时,你才5岁;当你像我这么大时,我已经71岁了。”师傅今年多少岁?此题表达虽简单,只告诉了两个量,但内涵丰富,理解起来颇有难度。不过,依据题意,抓住年龄差不变,画出线段图,就可以转化成容易解答的差倍问题了。如右图,可以直观看出,师徒之间的1个年龄差是(71-5)÷3=22(岁),师傅今年的年龄是5+22×2=49(岁)。
此外,在探索规律、常见的量、式与方程等的学习中也可积极创建几何直观。
如0.1小时和0.1元的理解,学生往往会认为0.1小时就是10分钟。引导学生借助数轴画出直观图,就能帮助学生形象理解钟表上的小数:因为钟表用的是60进制,60÷10=6分钟,0.1小时就是6分钟;而“元、角、分”用的是10进制,0.1元=1角,所以就不一样了。
当然,自觉运用几何直观,形成几何直观的意识,离不开灵活运用中的成功体验。因此教师要引导儿童经常性地构造几何直观,并常常反思体会几何直观的优势,要有意识地培养儿童的几何直观意识与能力,帮助儿童逐步形成一种“遇抽象画形象”的稳定的思维方式。当然,构造几何直观之后,还需要重点关注几何推理、直观洞察的思维发展。此外,在图形与几何、统计与概率等数学领域,我们也要进行深入研究,丰富实例,逐步形成几何直观的构造系列。
参考文献:
[1]曹培英.跨越断层 ,走出误区:“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海:上海教育出版社,2017.
(江苏省运河高等师范附属小学北校 210000)