“分数”学习中的直觉与错误文献综述

熊倍 郜舒竹

【摘   要】与分数相关的内容贯穿数学课程始终，在整数学习基础上学习分数相关内容，会出现多种类型的错误。在国内外已有研究中归纳出的这些错误主要反映在分数比较大小、分数运算以及分数稠密性等方面。错误的原因可以用直觉规律进行解释。

【关键词】直觉;错误;误解;分数

数学学习中的错误往往源于误解，而误解往往源于直觉。通过梳理已有研究发现，分数学习中的错误主要反映在分数比较大小、分数运算以及分数稠密性三个方面。

一、分数比较大小

分数比较大小通常分为同分母分数比较大小、同分子分数比较大小以及异分母、异分子分数比较大小三类。无论是哪一类，均容易出现错误。以异分母、异分子分数[46]和[23]比较大小为例，一些学生会因为6>3，4>2，而错误地判断[46]>[23]。

早在1983年，贝尔（Merlyn Behr，1932—1995）等人通过研究发现，针对以上三类分数比较问题，学生均能使用多种策略进行判断。在尚未实施分数大小比较的教学之初，大量四年级的学生会基于4>3的整数主导策略（whole number dominance）而得出[14]>[13]的错误判断。[1]

马克（Nancy Mack，1935—1995）和亨廷（Robert Hunting，1948—）等人的研究发现，学生在解决与分数相关的问题时，会将分子、分母看作是由两个不相关的整数所组成的数，而不会将分数看成是一个数。[2]马克进一步强调，通常在以现实中的分物情境为背景时，学生能够正确比較东西的大小。[3]比如，将两块一样大小的披萨分别平均分成八份和六份，学生会因为分的份数少，分后的每一份所占量多，而选择分成六份的比较多。但当直接要求学生比较[16]和[18]的大小时，学生又误以为分母比较大的分数，其值也比较大。

台湾学者杨德清、洪素敏等人也曾做过类似的研究。在小学四年级关于分数比较大小的课堂上，他们发现，当允许学生使用具体操作物时，学生能求出该分数所代表的具体的量，然后比较分数大小。但是当抽离具体物体时，学生却无法直接比较分数的大小。[4]他们还发现，学生可以机械地比较分数大小，但要求学生对如何比较分数的大小进行有意义的解释则比较困难。例如，当要求学生比较异分母、异分子分数[15]与[210]的大小时，学生会误认为[15]<[210]，因为[210]是占2份，而[15]只有1份，所以[210]比较大。抑或是学生认为1<2，5<10，因此，[15]<[210]。

诸如此类的错误也同样出现在对澳大利亚学生的研究中。323名六年级学生被要求通过观察分数卡片，在规定时间内直接给出八组分数大小比较的结果。测试过程中，不仅不能通过通分、笔算书写、图画等方法比较大小，而且应答的时间也被控制。结果显示，部分学生会使用差值比较的方法判断分数大小。进一步了解，当学生利用差值思维（gap thinking）比较分数大小时，较易出现错误的结果。[5]以“[34]和[79]”“[56]和[78]”为例，学生会认为3差1“份”（bit），就可以使[34]变成1，而7差2“份”（bits），才可以使[79]变成1。因此，[34]>[79]。然而，[56]和[78]均差1“份”（bit）就可以变成1，因此，[56]=[78]。

基于蒂罗什和斯塔维提出的直觉规律理论，分别从“越多的A-越多的B”和“相同的A-相同的B”两条直觉规律出发，对学生在分数比较大小中出现的错误进行整理与解释。要特别指出的是，在分数比较大小中，A指构成一个分数的分子或分母的大小，B指这个分数所表示的值（以下分数均为真分数）。

（一）“越多的A-越多的B”直觉规律

（1）当[a]>[b]时，若要求学生比较分数[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小时，一些学生可能会因为分母越大，分数值越大，得到[ma]>[mb]的错误答案。例如，因为5>3，所以[15]>[13]。

（2）当[a]>[b]，[c]>[d]时，若要求学生比较分数[ca]，[db]的大小，一些学生可能会因为[a]>[b]，[c]>[d]，得到 [ca]>[db]的错误答案。例如，因为6>3，4>2，所以[46]>[23]。

（3）学生受同分子分数比较大小的影响，“分母越大，分数越小”，使得他们会进一步使用“越多的A-越少的B”直觉规律比较分数大小，即当分子与分母的差值越大，分数值反而越小。例如，因为[（4-3）<（9-7）]，所以[34]>[79]。

（二）“相同的A-相同的B”直觉规律

（1）当[a]>[b]时，若要求学生比较分数[ma]，[mb]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）的大小时，一些学生可能会因为分子值一样而忽略分母，直接得到[ma=mb]的错误答案。例如，[34]=[36]。

（2）当[a]>[b]，[c]>[d]时，若要求学生比较分数[ca]，[db]的大小，一些学生可能会因为[（a-c）=（b-d）]，得到[ca]=[db]。即错误地认为，分子与分母的差值相同，分数大小也相同。例如，因为[（9-8）=（4-3）]，所以[89]=[34]。

二、分数运算

直觉规律对学生分数学习的影响不仅限于分数比较大小中，类似的直觉错误在分数运算、分数稠密性、等值分数、代数式等其他内容中均有所涉及。

一些研究是从参与运算的两个分数的分母是否相同着手，对学生在分数运算中出现的错误进行分析。从198份答卷中可以看出，学生在分数的加法运算中表现最好，而在分数的除法运算中表现较差。[6]在分数加（减）法中，一些学生分别将分子与分子的和（差），分母与分母的和（差）作为分数加（减）法计算结果中的分子与分母;而在同分母分数乘（除）法中，受分数加（减）法运算的影响，一些学生则错误地保留两个分数的共有分母作为计算结果的分母，如[29×79=149]，[910÷310=310]。

台湾学者林天麒针对上述现象，对小学四、五年级学生也进行了相应的问卷测试。结果发现，小学高年级学生只会机械地进行分数运算，难以真正理解分数运算的算理。学生会把之前学过的整数算法不恰当地迁移到分数的计算上来。因此，在分数运算中，学生会出现分母相加减、分子相加减的错误。林先生将这种现象解释为学生只具有程序性知识的理解，而缺乏概念性知识的理解。[7]

特夫那（V Trivena）等人的观点与上述观点基本一致。基于调查学生关于分数加减法概念理解情况的目的，23名10至11岁的学生参与了相关测试。测试表明，在同分母和异分母分数加法中，学生存在误解的比率均高达73.91%，但是学生在同分母和异分母分数减法中出现错误的比率分别为26.09%和60.87%。[8]例如，面对问题“[14+24]等于多少”，一些学生因为“2+1=3，4+4=8”，而错误地认为结果应为[38]。在异分母分数加减运算中，持有误解的学生同样存在类似的表现。例如，他们认为[25+12=37]，[25-12=13]。但是当面对同分母分数相减时，学生的表现会发生细微变化。例如，在“[46-26]等于多少”的问题中，学生会因为6-6=0，与分母不能为0的概念冲突，而“被迫”选择运算结果应为[26]。

实际上，针对以上种种关于分数加减法运算的错误，可以运用直觉规律“相同的A-相同的B”加以解释。其中，A代表参与运算的两个分数的分母或分子，B代表运算结果的分数的值的大小。那么，用直觉规律解释学生在分数加减法中的运算错误就主要分为以下两类。

（1）当[a+b=m]，[c+d=n]（[m≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）时，学生会因为“[a+b=m]，[c+d=n]”，而认为[ca+db]=[nm]。同样地，当[a-b=m]，[c-d=n]时，学生也会因为“[a-b=m]，[c-d=n]”，而认为[ca-db=nm]。

（2）当[a+b=m]时，学生会因为“[a+b=m]”，而认为[ca+cb=cm]。同样地，当[a-b=m]时，学生会因为“[a-b=m]”，而认为[ca-cb=cm]。

同样，一些常见的分数乘除法的计算错误也可以从“相同的A-相同的B”直觉规律的角度加以解释，具体存在以下两种情况。

（1）当[a×n=b]，[c×n=d]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）时，学生会因为“[a×n=b]， [c×n=d]”，而认为[ca×n=db]。可逆地，当[a÷n=b]，[c÷n=d]时，学生也会因为“[a÷n=b]， [c÷n=d]”，而认为[ca÷n=db]。

（2）當[a×n=b]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[d][∈][Z+]）时，学生会因为“[a×n=b]”，而认为[ca×cn=cb]，[ac×nc=bc]。可逆地，当[a÷n=b]时，学生会因为“[a÷n=b]”，而认为[ac÷nc=bc] ， [ca÷cn=cb]。

三、其他类型的错误

苏洪雨的研究表明，不同于西方国家，类似于“[12+12=24]”的错误，在我国数学教学中很少出现。[9]他发现，当要求学生写出一个介于[18]与[17]之间的分数时，不少学生做错，有学生甚至无法给出任何答案。

国外也有学者发现，学生并没有意识到位于一条数轴上的两个分数之间，拥有无穷多个分数。当问及15岁的学生“[14]和[12]之间，存在多少个分数”时，84%的学生均回答错误，仅有16%的学生给出正确的答案。在回答错误的学生中，又有36%的学生认为只有一个。[10]

通过以上研究可以发现，学生在判断分数稠密性时会存在误解。现根据直觉规律理论，对学生在分数稠密性方面的错误判断和理解进行解释与说明。即学生会利用“越多的A-越多的B”“相同的A-相同的B”两个直觉规律对分数的稠密性进行判断。其中，A指两个同分母分数的分子之差，或者是两个同分子分数的分母之差;B指这两个分数之间所存在的分数的个数。学生会错误地认为A值越大，B值越大，当A值相同时，B值也相同，即如下。

（1）当[a-b=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）时，面对问题“[ca]与[cb]之间，可以找到多少个分数”，学生会基于[a-b=n]，直觉地判断出[ca]与[cb]之间，仅存在[n-1]个分数。

（2）当[b-a=n]（[n≠][0]，[a]，[b]，[c]，[n][∈][Z+]）时，面对问题“[ac]与[bc]之间，可以找到多少个分数”，学生会基于[b-a=n]，错误地判断出[ac]与[bc]之间，仅存在[n-1]个分数。

另外，学生对等值分数存在误解，会误用加法策略。韩玉蕾、辛自强等人将其解释为学生之前接受了大量的加法思维训练，因此阻碍了学生乘法思维和守恒观念的自然发展。[11]例如，学生会认为[38=49]，因为3+1=4，8+1=9，这种现象与前文中所提及的分数比较大小中的“相同的A-相同的B”直觉规律类似。于是，当面对“将[25]的分子增加2，如果要使分数的大小保持不变，那么应该如何”的问题时，一些学生依然错误地回答“分母也增加2”，类似的错误也会保留至初中、高中甚至大学。例如，一些学生总是认为，当一个分数的分子、分母分别是另一个分数的分子、分母的平方时，这两个分数就是所谓的等值分数，如[49]=[23]。

现从直觉规律“相同的A-相同的B”出发，对学生关于等值分数的错误理解进行解释。其中，A是指对分子和分母进行某种运算，B是指两个分数的值的大小。学生基于直觉规律认为对分子、分母同时进行相同的运算，分数的大小并不会发生改变。比如，将分子、分母同时加（减）上一个数，同时平方、立方，等等，分数大小不变。

四、后续学习中的错误

小学阶段关于分数的误解与错误会延续到中学阶段相关内容的学习中。比如，学生会因为3>2，而断定[3x]>[2x]。

在Rapaport的研究中，让高中生分别比较[16y8]与[2y]，[2a-82]与[6a-246]的大小时，大部分学生对前一题的解答比较正确，但只有一半甚至更少的学生对后一题的解答比较正确。学生受直觉规律的影响，认为[6a-246]要大于[2a-82]，因为6和24都比2和8要大。[12]

杜伦（Wim Van Dooren）等人通过研究发现，当要求学生比较[6]和[93]的大小时，虽然有大部分的学生回答正确，但仅有7%的学生给出正确的推断理由。仍有37%的学生运用“相同的A-相同的B”直觉规律，误认为“因为[9×13=3]，[6×12=3]，所以[6]=[93]”。另外，还有一些学生利用“越多的A-越多的B”直觉规律，即因为9>6，3>2，错误地判断出[93]>[6]。[13]

综上，在分数比较大小、分数运算、分数稠密性、等值分数的学习中，学生容易出现错误，这些错误的出现与学生的已有知识和经验密切相关。并且，学生在分数相关内容的学习中所出现的错误不仅具有一定的必然性，还具有一定的顽固性和普遍性。

分析学生在分数相关内容学习中所出现错误的原因主要有以下两种：一是从学生学习出发，认为学生受之前所学整数知识的影响，倾向于将分数的分子、分母看成是独立的两个整数，将整数所适用的一些规则泛化于分数的知识领域内，从而产生整数主导、差值比较等策略错误;二是从教师教学出发，指出以程序、方法、技巧、规则与算法等技术取向训练为主的课堂教学，往往忽略了引导学生对分数概念本质的理解与解释，也就造成了学生片面理解分数的多重含义、分数概念混淆、机械地进行分数运算的现状。然而，不容忽视的是，这两种解释虽然在一定程度上说明了学生出现错误的原因，但仍然不能很好地反映出学生在分数比较大小中所犯错误的必然性、顽固性和普遍性。与此同时，直觉规律理论的研究为解释学生错误提供了契机。因此，从直觉规律的角度出发，深入探索致使学生在分数比较大小、分数稠密性、等值分数的学习中频频出错的原因成为必要。

参考文献：

[1]Behr M J，Wachsmuth I，Post T R，Lesh R.Order and Equivalence of Rational Numbers：A Clinical Teaching Experiment[J].Journal for Research in Mathematics Education，1984，15（5）：327-333.

[2]Mack N K.Learning Fractions with Understanding：Building on Informal Knowledge[J].Journal for Research in Mathematics Education，1990，21（1）：16-32.

[3]Hunting R.Rachels Schemes for Constructing Fraction Knowledge[J].Educational Study in Mathematics，1986，（1）：49-86.

[4]楊德清，洪素敏.比较分数大小——从具体、半具体至抽象符号表征之教学行动研究[J].国立台南师范学院南师学报，1992，37（2）：77.

[5]Doug M Clarke，Anne Roche.Students Fraction Comparison Strategies as a Window into Robust Understanding and Possible Pointers for Instruction[J]. Educational Studies in Mathematics，2009，72（1）：128-137.

[6]Kristie J Newton，Catherine Willard，Christopher Teufel.An Examination of the Ways That Students with Learning Disabilities Solve Fraction Computation Problems[J].The Elementary School Journal，2014，115（1）：1-17.

[7]林天麒.国小四、五年级分数运算错误类型分析之研究[D].台湾：国立中央大学，1998.

[8]V Trivena，A R Ningsih，A Jupri. Misconception on Addition and Subtraction of Fraction at Primary School Students in Fifth-Grade[A].IOP Conf. Series：Journal of Physics，2017：1-7.

[9]苏洪雨.七年级学生分数学习情况的调查研究[J].数学教育学报，2007，16（4）：48.

[10]Amar Sadi.Misconceptions in Numbers[J].UGRU Journal.2007，5：5.

[11]韩玉蕾，辛自强，胡清芬.等值分数概念的理解[J].心理发展与教育，2012，（2）：211-212.

[12]Tirosh D，Stavy R.How Students （Mis）Understand Science and Mathematics[M]. New York：Teachers College Press，2000：22-36.

[13]Wim Van Dooren，Dirk De Bock，Dave Weyers and Lieven Verschaffel. The Predictive Power of Intuitive Rules：A Critical Analysis of the Impact of “More A-More B”and “Same A-Same B”[J]. Educational Studies in Mathematics，2004，56（2）：187-197.

（首都师范大学初等教育学院   100048）