变式中走向深刻——特级教师李步良《小数的初步认识》练习赏析

薛正桧

数学学习离不开练习，好的练习事半功倍。在练习设计中充分利用变式，是教师单位时间内提高教学效率，促使学生进行深度学习的应然选择。2019年3月，在江苏省“青年教育家型教师培养工程”名师送教活动中，李步良老师执教了《小数的初步认识》一课，课中的两处练习设计新颖独特，令人拍案叫绝。

一、为了知识系统的牢固

在学生初步认识了一位小数，并且知道“十分之几”可以表示成“零点几”以后，李老师安排了一道变式练习。

片断1：

师：把这个正方形看作“1”，图中的涂色部分用哪个小数表示？

生1：用0.4 表示。一共5 份，涂了4 份，就是0.4。

师：有不同的想法吗？

生2：应该是0.5，因为只有平均分成10 份的时候，涂了4 份才是0.4，这里一共有5 份，所以0.5 才对。

生3：是5.4！

师：一个正方形才是“1”，5.4够吗？

生3：5.4 吧？

生5：反面还有5 份。（全场哄堂大笑）

师：如果反面真有5 份的话，说说你的看法。

生5：反面还有5 份，那就是平均分成了10 份，涂4 份，也就是写成小数就是0.4。

师：有一定道理。但这是一个平面图形，只有一个面，它就是平均分成5 份的。真的找不到合适的小数吗？

生：横过来再分一下。

（其他学生纷纷赞同）

师：为什么要横过来再分一下？

生：因为“十分之几”才好表示成“零点几”。

师：那现在用什么小数表示？

生：0.8！

师：通过刚才这道题的解答，你们有什么感想？

生：表示小数的时候，不能只看涂了几份，还要看平均分了几份。

【赏析：从上世纪80年代以来，在有关中国数学教育和中国学生数学学业成就的国际比较研究中，出现了一个引人注目的、相互矛盾的结果，暂且称之为“中国数学学习悖论”。一方面，中国学生的数学成绩明显优于西方学生，令人羡慕；另一方面，西方研究者发现中国的数学学习属于典型的“被动灌输”和“机械训练”，不可能产生“好的学习”。针对这种情况，宋乃庆、张奠宙等前辈为我们指明了方向，他们创造性地提炼出了我国传统教学中的四大经验，其中一条是“依靠变式提升演练水平”。通过恰当的变式教学，建立起学习者新旧知识的合理与实质性的联系，使得他们的学习成为有意义的学习（对变式教学的不正确应用导致的“题海战术”另当别论）。现在倡导素质教育，主张深度学习，重新审视“变式”，我们发现它能使学生的学习由肤浅走向深刻，由表面走向本质。

以李老师这个教学片断为例。在前继学习中，学生虽然已经知道十分之几的数可以用一位小数表示，一位小数就表示十分之几，在“十分之几”与“零点几”之间建立了等价关系，但没有干扰信息的标准表述不具有辨析的实际意义，也无法让学生真正理解小数的本质。在一个新的问题情境下，学生究竟从其概念系统中提取哪一个属性来解决问题很关键。提取的是本质属性，还是非本质属性将体现出不同的学习、理解层次。有些学生受强信息的影响，以为十分之几中的“几”与零点几中的“几”是一组关键连接点，自然认为“涂了4 份就是0.4”；有些学生模糊感觉“几”份就是零点“几”，错误地把平均分成几份中的“几”与零点几中的“几”建立了联系，表示成了“0.5”；甚至于有学生乱点鸳鸯谱，直接拼凑数字说“5.4”等。这些情况的出现都说明他们还是没有从本质上去认识一位小数的意义，小数是十进分数的另一种书写形式，“十进制”是理解的关键点之一。以一位小数为例，没有平均分成十份，就无法直接标明十分之几中的“几”，自然也就无法根据涂色的份数来写出对应的小数了。李老师借“5 份中的4 份”这一变式“迫使”学生对小数的认识向深层次迈进，他把“几分之几”“十分之几”“零点几”这几个相近概念的逻辑关系描述得一清二楚，使学生的知识系统更加牢固。】

二、为了经验系统的丰盈

在学生认识了整数部分为0的纯小数后，为了帮助学生建立起带小数的表象，同时也为后继数轴的理解打下基础，李老师设计了一组连环变式。

片断2：

师：用1 个正方形表示1 元，怎么表示出1.2 元呢？

生：这个正方形不动，再画一个正方形平均分成10 份，涂2 份。

师：1.2 元在哪里？

生：左边表示1 元，右边表示0.2 元，合起来就是1.2 元。

师：我把这幅图变一变（上下压缩），现在还能表示1.2 元吗？

生：变成长方形了，不能。

生：虽然变成了长方形，但它还是平均分成10 份的。

师：也就是说，现在把什么看作1 元了？

生：长方形。

师：（再次压缩图形）它能表示1.2 元吗？

生：能。

师：（逐渐演变成了线段图）现在还能表示出1.2 元吗？

生：不能！颜色都没有了，怎么表示啊？

生：怎么不能？这不还是平均分成10 份嘛？可以在线段上涂颜色。左边是“1”，右边再涂2 小格，合起来就是1.2。

师：其实不用在线段上涂颜色，在下面加个大括号也是可以的。正方形、长方形、线段都能表示出1.2 元。还可以怎样表示1.2 元？

生：

……

生：无论什么图形都可以表示1 元，然后再表示出0.2 元，合起来就是1.2 元。

师：概括得真好。我们把这个线段再变一变（左右连接），你能很快找出1.2 元吗？

生：在“1”的后面数两格。

生：不对，还应该包括左边的“1”呢。

【赏析：在概念的外延集合中，虽然从逻辑的角度看，每个对象的地位都是同等的，但其中确实有些对象具有特殊性。比如，一些对象由于受感性经验的影响，或者引入概念时先入为主，不自觉地就成为某个概念的标准形式。标准样式有利于学生对概念的准确把握，也利于教师教学的“方便”，但它极易形成学生的思维定势，没有了灵活性，甚至不恰当地缩小概念的外延，把一些非本质属性上升为本质属性，从而形成错误的概念。运用“非标准形式”，以不同的表征方式来凸显概念的内涵就成了必需。在上述片断中，正方形、长方形、线段、圆、小三角形的集合等都是单位“1”的载体。丰富的概念外延让学生明白了：具体的实物、图形不是认识小数的对象，平均分成的份数及表示的份数才是认识小数的聚焦点。

李老师上个设计“5 份中的4份”属于“混淆外延式变式”，这个设计“表征1.2 元”属于“扩充外延式变式”，它们都较好地帮学生建立起了一位小数的知识系统。因为“表征1.2 元”是一组连续的变式，它同时也帮学生丰盈了认识的经验系统，经验系统的丰富性和有效性对完善认知结构极为重要。如果概念被认为是静止对象时，通过一两个不同类型的变式就能建立起正确认知。然而，如果概念是通过一系列过程的发展而形成的，那么对过程的理解也是掌握概念的重要方向。李老师在让学生“表征1.2 元”时，巧妙设计，层层推进，直至形成数轴的原始模型，把学生理解概念的逻辑过程、历史过程和心理过程糅为一体，创造了一个多层次的经验和策略系统，学生必将终身受益。】