浅析构造可导抽象函数求解策略

2019-04-27重庆市铁路中学校何成宝

中学生数理化(高中版.高二数学) 2019年3期

■重庆市铁路中学校何成宝

抽象函数因为没有具体的解析式，理解研究起来比较困难，所以是高中数学函数部分的难点。但抽象函数问题既能考查函数的概念和性质，又能考查同学们的思维能力，因此备受命题者的青睐。求解此类试题关键是抓住原函数和导函数的关系式特征，构造出对应的可导抽象函数。下面举例说明，以供同学们参考。

一、构造f(x)±g(x)型函数

形如f'(x)±g'(x)的结构，则可构造函数h(x)=f(x)±g(x)，例如:

(1)f'(x)-g'(x)＞0，构造函数h(x)=f(x)-g(x);

(2)f'(x)+g'(x)＞0，构造函数h(x)=f(x)+g(x)。

例1若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1，其导函数f'(x)满足f'(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是( )。

解析：构造函数g(x)=f(x)-kx，则g'(x)=f'(x)-k＞0，所以g(x)在R上单调递增。令g(0)，也即＞-1，化简得，故选C。

练习1：定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2，当x＜0时，f'(x)＜x，则不等式f(x)+≥f(1-x)+x的解集为____。

解析：构造函数g(x)=f(x)-，当x＜0时，g'(x)=f'(x)-x＜0，说明g(x)在(-∞，0)上为减函数。而g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0，所以g(x)为奇函数。又f(0)=0，g(0)=0，所以g(x)在R上为减函数。

二、构造f(x)·g(x)型函数

形如f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)的结构，可构造函数h(x)=f(x)·g(x)。

(1)若xf'(x)+f(x)＞0，则[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)＞0，故可构造函数h(x)=x·f(x);

(2)若 xf'(x)+nf(x)＞0，则[xn·f(x)]'=xn-1[xf'(x)+nf(x)]＞0，可构造函数h(x)=xn·f(x);

(3)若 f'(x)+f(x)＞0，则[ex·f(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]＞0，故可构造函数h(x)=exf(x);

(4)若 f'(x)+nf(x)＞0，则[enx·f(x)]'=enx[f'(x)+nf(x)]＞0，故可构造函数h(x)=enx·f(x)。

例2设函数f(x)是定义在(-∞，0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有2f(x)+xf'(x)＞x2，则不等式 (x+2019)2f(x+2019)-4f(-2)＞0的解集为____。

解析：构造函数g(x)=x2f(x)(x＜0)，当x＜0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]＜x3＜0，则g(x)在(-∞，0)上是减函数。因为(x+2019)2f(x+2019)＞(-2)2f(-2)，所以g(x+2019)＞g(-2)，x+2019＜-2，即x＜-2021，所以不等式的解集为(-∞，-2021)。

练习2：已知函数f(x)满足x2f'(x)+，则当x＞0时，f(x)( )。

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值也无极小值

解析：构造函数g(x)=x2f(x)，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=，所以f'(x)=。令h(x)=ex-2x2f(x)，h'(x)=ex-2[2xf(x)+x2f'(x)]=ex-。当0＜x＜2时，h'(x)＜0，h(x)单调递减;x＞2时，h'(x)＞0，h(x)单调递增，故h(x)min=h(2)=e2-8f(2)=0。因此，当x＞0时，h(x)≥0恒成立。因为，所以f'(x)≥0恒成立。因此，f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)无极大值，也无极小值，故选D。

练习3:设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)＞0，且g(-3)=0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )。

A.(-3，0)∪(3，+∞)

B.(-∞，-3)∪(0，3)

C.(-∞，-3)∪(3，+∞)

D.(-3，0)∪(0，3)

解析：构造函数h(x)=f(x)·g(x)，则h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，所以h(x)=f(x)·g(x)在(-∞，0)上为增函数。又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)=f(x)·g(x)为奇函数，且h(x)在(0，+∞)上为增函数。则h(3)=f(3)·g(3)=0，h(-3)=f(-3)·g(-3)=0，结合图像可得f(x)·g(x)＜0的解集是(-∞，-3)∪(0，3)，故选B。