对函数极值定义的探讨

谢日新

[摘要]举例说明对极值定义的看法 ，并给出了参考定义。

[关键词]极大（小）值，极大（小）值点

在教学过程中，发现某些教材中关于极值的定义，均值得商榷，下面通过举例说明。

一、普通高等教育“十二五”规划教材，《微积分》中的定义如下：

定义1 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域U（x0）内有定义，并且 ，有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），则称f（x0）为函数f（x）的一个极大值（或极小值），x0称为函数f（x0）的一个极大值点（或极小值点）.

例1 设

函数f（x0）在x0=1的某个邻域内有定义，且对邻域中任何点x恒有f（x）≤f（x0），按定义1，f（x0）为函数f（x）的极大值，而x0=1为极大值点。这显然是错误的。

二、21世纪大学数学精品教材《高等数学》中的定义如下：

定义2 设函数f（x）在点x0的某个邻域U（x0）内有定义，如果对于去心邻域 内的任一x，有f（x）f（x0）

那么称f（x0）是函数f（x）的一个极大值或极小值。

例2 设

函数f（x）在点x0=1的某邻域U（x0）内有定义，对其去心邻域 内的任一x，有f（x）

例3 设

函数f（x）在点x0=1的某邻域U（x0）内有定义，对其去心邻域 内的任一x，有f（x）

例4 设

函数f（x）在点x0=0处连续，对某去心邻域 内的任一 x，有f（x）>f（x0），按定义2，f（x0）为函数f（x）的极小值，而x0为极小值点。

在以上例子中，例1，例3和例4中的极值点，函数经过极值点时，其单调性没改变；例2中，只要令f（1）=0，点x0=1又变为极小值点，此时x0=1是否归入极小值点，值得探讨。

三、鉴于以上定义的不足，现给出如下参考定义：

定义3 设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有连续，如果对于去心邻域 内的任一x，有f（x）f（x0）

那么称f（x0）是函数f（x）的一个极大值或极小值。

[参考文献]

[1]刘颖芳、肖运鸿主编微积分，2011年第一版，科学出版社。

[2]余胜春、张平芳主编高等数学，2012年第一版，科学出版社。

（作者单位：广州航海学院 基础部 广东广州）