全国名校导数测试卷答案与提示

一、选择题

1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.B 11.B 12.D 13.C 14.A 15.C 16.B 17.C 18.B 19.B 20.A 21.B 22.C 23.A 24.A 25.A 26.D 27.A 28.D 29.C 30.C 31.A 32.D 33.D 34.A 35.D 36.D 37.D 38.B 39.C

二、填空题

40.（- ∞，2） 41.142.2

44.2x-y-3=0 提示:当x＞0时，-x ＜ 0，f(x)=-f(-x)=-[-xln

x-x+2]=xlnx+x-2，则f'(x)=ln

x+2，f'(1)=2。又f(1)=-1，则所求切线方程为y+1=2(x-1)，即2xy-3=0。

45.(-2，9) 提示:因为f(x)=2x2+1，所以f'(x)=4x。令4x0=-8，则x0=-2，f(x0)=9，点M 的坐标为(-2，9)。

47.(-1，+∞) 提示:由f(x)＞2x+4，得f(x)-2x＞4。令g(x)=f(x)-2x，则g'(x)=f'(x)-2＞0，g(x)在R上为增函数。又g(-1)=f(-1)+2=4，即g(x)＞g(-1)，故x＞-1。

50.[-4，0)∪(1，28] 提示:由f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)，得f(x)在(0，1)上递减，在[-2，0)和(1，2]上递增，所以-28+a≤0＜-1+a或a＜0≤4+a，即a∈[-4，0)∪(1，28]。

52.（-∞，-3） 提示:令y'=aex+3=0，则ex=-。因此，-＞ 0。又-＜1，故a∈(-∞，-3)。

55.-2 提示:f'(x)=x2-x+a。又函数f(x)恰在 ［- 1，2］上单调递减，故-1，2是f'(x)=0的两根，a=(-1)×2=-2。

f(mx-2)＜-f(x)=f(-x)，x＜2-mx，即mx+x-2＜0，m∈［ - 2，2］。

58.1-ln2 提示:直线y=kx+b与曲线y=lnx+2，y=ln(x+1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)。由y=lnx+2得y'=，由y=ln (x+1)得则-1。故y1=-lnk+2，y2=-lnk，即。因为A，B 在 直 线y=kx+b 上，所 以

三、解答题

59.(1)f'(x)=3x2-x+b。

令f'(x)=0有两个不相等的实根。

(2)因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0。

故3-1+b=0，得b=-2。

f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)。

12

故［f ( x)］max=2+c＜c2，解得c＞2或c＜-1。

故c∈（ -∞，-1）∪（ 2 ， +∞）。

因为f'(x)=x2，所以在点处的切线的斜率k=f'(1)=1。

则切线的斜率k1=f'(x0)=，即y=

整理得(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2，故所求切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0。

因为x=4是函数f(x)=alnx+x2-12x+11的一个极值点，所以2×4-12=0，解得a=16。

经检验a=16满足题意，故a=16。

故f(x)的单调递增区间是（0，2）和（4，+∞），单调递减区间是（2，4）。

62.(1)f'(x)=-3x2+2ax+b。令解得a=3，b=9。

(2)由(1)知f'(x)=-3x2+6x+9。

故此时函数f(x)的单调递减区间为［-2，-1），单调递增区间为（-1，2］。

解得f(-2)=8+12-18+c=2+c，f(2)=-8+12+18+c=22+c。

显然，f(x)max=f(2)=22+c=20，得c=-2。

x=-1为f(x)在［ - 2 ，2］上的极小值点。

故f(x)min=f(-1)=-7。

63.(1)f'(x)=-xex(x∈R)。

令f'(x)=0，得x=0。

当x∈(-∞，0)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增;

当x∈(0，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减。

故f(x)max=f(0)=0。

(2)由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1。

当-1＜x＜0时，g(x)＜1等价于f(x)＞x。

设h(x)=f(x)-x，则h'(x)=-xex-1。

从而当x∈(-1，0)时，h'(x)＜0，h(x)在(-1，0)上单调递减，h(x)＞h(0)=0，即g(x)＜1。

综上，g(x)＜1。

64.(1)f'(x)=3x2+2mx+n，由题意知x=0是函数的一个极值点，于是f'(0)=0，得n=0。

(2)由(1)知f(x)=x3+mx2+p。

由题意知f(2)=0，即23+m·22+p=0，得p=-4(m+2)。

又f'(x)=3x2+2mx=0，得x=0或x=-。

由于f(x)在 ［0 ， 2］上是减函数，因此分析可得-≥2，得m≤-3。

故f(1)=1+m+p=1+m-4(m+2)=-3m-7≥2。

又因为f(2)=ln2-2，所以函数y=f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线方程为y-(ln2-2)=(x-2)，即x-2y+2ln2-6=0。

66.(1)f'(x)=3x2+2f'（）x-1。

令f'(x)=3x2-2x-1＞0，得x＜-或x＞1。故f(x)的单调增区间为（- ∞，-）和（ 1 ， +∞）。同理可得f(x)的单调减区间为（ -，1）。

(2)设sin x=t∈ ［- 1，1］，由(1)知f(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，故f(sinx)max=又f(-1)=f(1)=-1，故f(sinx)min=-1。

(2)由f(x)＜x+m，得f(x)-x＜m。

令g(x)=f(x)-x，即g(x)=(e-1)·x-lnx。

当x变化时，g'(x)，g(x)变化如表1:

表1

由表知g(x)min=1+ln (e-1)。

故m∈（1+ln(e-1)，+∞）。