坡角多大，圆柱体在水平面滚得最远

王伟民

【摘要】分析沿斜面往下滚动圆柱体的受力情况.用求导的方法，分别探究在不计空气摩擦阻力、以及考虑空气阻力时，从确定长度的斜面上下滚至水平面的圆柱体，在水平面向前滚动的最远距离所对应的斜面坡角.

【关键词】圆柱体；斜面；阻力；水平面；极大值

苏教版四年级《数学》上册第二章“角”，有一“社会实践课”板块，课题为“怎样滚得远”，内容是让同一个圆柱体从固定长度的斜面顶端自由滚下，改变斜面与水平面的夹角（即坡角），探究坡角多大时，圆柱体在水平面上向前滚动的距离最远.

教科书通过坡角分别为三个特殊值——30°、45°及60°的情形相比对，让学生通过实验，自己总结出“坡角为45°时，圆柱体在水平面上滚动的距离最长”的结论.

应该讲，这样的结论有点让人匪夷所思.

如果斜面和圆柱形物体都很坚硬，圆柱体沿斜面向下滚动时，所受斜面的摩擦阻力应该非常小.按说，在忽略空气阻力和斜面摩擦阻力的情况下，沿斜面下滚的圆柱体机械能守恒，理论上应该是斜面越陡，斜面高度便越大，同一圆柱体放在斜面顶端时所具有的重力势能就越大，圆柱体下滚至水平面时的速度也就越大，因此在水平面上向前滚动的距离应该越远.那么，为什么会出现实验现象与理论推导如此相悖的现象呢？斜面坡角到底多大时，圆柱体在水平面滚动的距离最远？

因为在水平面上向前滚动的圆柱体受到地面恒定的摩擦阻力，和与速度大小有关的空气阻力，所以，同一个圆柱体在水平地面向前滚动的距离，取决于圆柱体在水平面的初速度.

如果斜面与水平地面的连接是几何中圆弧与直线的连接，那么，圆柱体从斜面过渡到水平面的过程便没有能量损失，结果应该是斜面越高，圆柱体在水平面获得的水平初速度越大；如果斜面与水平面是两平面相交，那么，当圆柱体沿斜面下滚至水平面时，就会和水平地面相撞，撞击的过程必然伴随着能量的损失.从课本提供的实验器材来看，圆柱体的运动应该属于后面的一种情形.

考虑圆柱体与地面相撞过程中的能量损耗，我们定量分析斜面与水平面的夹角多大时，从固定长度的斜面顶端滚下的圆柱体，在水平面上获得的水平初速度最大.图1如图1所示，一圆柱体从长l、高h，坡角为θ的斜面顶端自由滚下，不考虑斜面的摩擦阻力，设圆柱体截面半径为R，且R远小于斜面长l，为方便讨论，我们假设圆柱体的质量均匀分布在圆柱体的侧面上（就像一个圆筒）——当然，这种假设仅仅是为了研究问题的方便，可以证明（后面给出了证明），即便圆柱体质量不是均匀分布在它的侧面，而是集中在它的轴心处，或者均匀分布于整个圆柱体，都不会影响定量分析的结果——斜面与水平面的夹角均为某一定值时，圆柱体在水平面上滚动的距离最远.

圆柱体从斜面顶端下滚至斜面底端刚要和地面相撞时，不仅具有平动动能，而且还具有转动动能，由于圆柱体的质量均匀分布在侧面上，所以平动动能与转动动能等值.设圆柱体下滚至斜面底端时，速度为v，由机械能守恒定律得：

mgh=12mv2+12mv2，（1）

所以v=gh=glsinθ.

滚至斜面底端的圆柱体在与水平地面相撞的过程中，圆柱体的转动动能及水平向前的平动动能没有损耗，而竖直向下的平动动能全部转化为内能（将没有转动的圆柱体从高空释放让其自由下落，落在水平面跟地面相撞之后，它不会有任何方向的水平速度，若圆柱体没有被弹起，它所具有的机械能将全部转化为内能）.

设圆柱体刚接触水平地面时，平动速度的水平分量为vx，铅直分量为vy，则有：

vx=vcosθ=glsinθcosθ（2）

由于撞击过程中，圆柱体的水平平动动能和转动动能没有损耗，所以，圆柱体在水平面上运动的水平初速度仍为vx.

不考虑空气阻力的情况下，在水平地面上向前滚动的圆柱体，所具有的动能（包括平动动能及转动动能）因克服地面的摩擦阻力全部转化为内能时，才会停下来.所以，刚至水平地面的圆柱体，水平初速度vx越大，其水平平动动能就越大，转动动能也越大，不用说，圆柱体在水平地面上向前滚动的越远（考虑水平面上运动的圆柱体所受空气阻力，结论是一样的——水平初速度vx越大，圆柱体在水平面上滚动的越远）.所以，我们只要能够确定坡角θ多大时，水平初速度vx有极大值即可.由于圆柱体滚至斜面底端与水平地面撞击之后，水平初速度不可能小于0，因此，v2x有极大值时，vx便有极大值.

因为vx=glsinθcosθ，

所以v2x=glsinθcos2θ.

所以（v2x）′=gl[cos3θ+sinθ·2cosθ（-sinθ）]=glcosθ（cos2θ-2sin2θ）

=glcosθ（1-3sin2θ）.

令（v2x）′=0，有cosθ（1-3sin2θ）=0.

解得：θ1=π2，θ2=arcsin33.

当θ1=π2时，斜面坡角为直角，斜面垂直于水平地面，圆柱体从“斜面”（此时的斜面已经不能称之为斜面了，所以我们对“斜面”二字加了引号）顶端自由释放后将不再滚动，而是作自由落体运动，落至地面后在撞击过程中，圆柱体所具有的动能将全部转化为内能而静止，所以，θ1=π2的情况不符合圆柱体在水平地面滚动最远的情形，应舍去.

由于θ=0时v2x=glsinθcos2θ=0，而在0<θ<π2范围内glsinθcos2θ恒大于0，且函数v2x=glsinθcos2θ在该区间只有一个驻点，故当θ2=arcsin33时，v2x最大.

这样看来，在不考虑沿斜面下滚的圆柱体所受斜面摩擦阻力和空气阻力的情况下，当斜面与水平面的夹角为arcsin33时（约为35°），从斜面上滚下的圆柱体在水平地面上向前滚动的距离最远.

上面的推理我们采用的特殊情形（即圆柱体的质量均匀分布于圆柱体的侧面上）在理想状况下（即沿斜面下滚的圆柱体不受阻力）的结果，那么，一般圆柱体在斜面上向下滚动并且受阻力时情形又将如何？

1.如果圆柱体的质量不是均匀分布在它的侧面上，等式（1）右边的第二项将变为k12mv2（k为常数，0≤k<1），比如质量集中在圆柱体轴心处时，k=0.而k大小的改变，只影响等式v2x=glsinθcos2θ右边系数的大小，关于θ三角函数的表达式不变，所以，不论圆柱体的质量怎样均匀分布，都不影响问题的结果，都是当斜面与水平面夹角为arcsin33时，圆柱体在水平地面滚动的距离最远.

2.考虑斜面对圆柱体摩擦阻力的影响，并假设圆柱体的质量均匀分布（不一定分布在圆柱体的侧面上，只要均匀分布即可）.

因为摩擦阻力正比于圆柱体对斜面的压力，所以，可设摩擦阻力f=k1N=k1mgsinθ（k1为常数），圆柱体从斜面顶端滚至底端时，有

mgh-lk1mgsinθ=12mv2+k212mv2（式中的k2由圆柱体的质量分布规律确定）

即mglsinθ-lk1mgsinθ=12mv2+k212mv2.

所以v=2gl（1-k1）1+k2sinθ.

所以vx=vcosθ=2gl（1-k1）1+k2sinθcosθ.

该式与上面的（2）式相比，等式的右边仅仅是系数不同，关于θ三角函数表达式完全相同，所以，往后的推理与上述推理结论相同，仍然是当坡角θ=arcsin33时，从斜面顶端滚下的圆柱体，在水平地面上向前滚动的距离最远.

3.考虑向下滚动的圆柱体在斜面上受空气阻力的影响

由于斜面对圆柱体的摩擦阻力及圆柱体本身的质量分布都不影响问题的结果，所以，我们仍然可以按最简单的情形进行分析，即按不考虑斜面的摩擦阻力，圆柱体的质量均匀分布侧面的情形分析.设在斜面上向下滚动的圆柱体所受空气平均阻力为F（F大小与圆柱体速度有关，为简化讨论，我们先把F视为常量，认为圆柱体沿不同坡度的斜面下滚时，所受空气的阻力恒定），则有：

该结论是认为沿斜面下滚的圆柱体所受空气阻力恒定的情形下导出的，而实际上圆柱体在斜面上向下滚动时，斜面坡角不同，圆柱体下滚的平均速度也就不等，所受空气的阻力当然也不相同.如果认为空气对圆柱体的阻力正比于圆柱体速度的平方，那么空气阻力对圆柱体做的功与坡角间的关系可以用积分的方法求出，但推理过程及结果的表达式很复杂，我们不再推导.但可以确定的是，有空气阻力的情形下，圆柱体在水平地面滚动最远距离所对应的斜面坡角，比没有空气阻力时算出的坡角大.空气对沿斜面下滚的圆柱体平均阻力与圆柱体重力之比不同，圆柱体在水平面上向前滚动最远距离时，对应的斜面坡角也不相同.

这样看来，如果没有斜面上的空气阻力，使圆柱体在水平面滚动最远时所对应的斜面坡角，从理论上来讲是一个大小不变的确定值arcsin33；而考虑下滚的圆柱体所受空气阻力，当圆柱体在水平面滚动最远距离时，对应斜面的坡角大于arcsin33.所以，实验测量得出的结果是能够让人信服的.