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利用一个结论解决零点和的取值范围问题

2019-04-27河南省濮阳市第一高级中学张亦驰

关键词:极值零点单调

■河南省濮阳市第一高级中学 张亦驰

在求解函数两个零点和的取值范围问题时,通常需要转化为极值点偏移问题,通过构造函数,再借助函数的单调性,从而得到函数零点和的取值范围,这种方法虽然可以解决此类问题,但是寻找极值点,构造函数都会让同学们感到困难。下面介绍一个重要结论,它不但容易理解,而且可以快速解决零点和的取值范围问题。

结论若x1>0,x2>0,当x1≠x2时,则有

证明:要比较的大小,只需要比较大小,即比较

当t∈(0,1)时,此时x1<x2,φ(t)<φ(1)=0。

当t∈(1,+∞)时,此时x1>x2,φ(t)>φ(1)=0。

综上所述,当x1≠x2时,则有

例1(2010年天津卷理科第21题改编)已知函数f(x)=xe-x(x∈R)。

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)如果x2≠x1,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2>2。

解析:(1)进行求导,可得f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(1)=为极大值。

(2)如果x2≠x1,不妨设x1<x2,由(1)知x1<1,x2>1。

设f(x1)=f(x2)=a,则有两边取对数得:

x1=lnx1-lna,x2=lnx2-lna。

两式相减得x1-x2=lnx1-lnx2。

因此,x1+x2>2。

例2(2013年湖南卷文科第21题)已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)证明:当f(x1)=f(x2),且x2≠x1时,x1+x2<0。

解析:(1)进行求导,可得函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0+∞)上单调递减。

同理,当x>1时,f(x)<0。

当f(x1)=f(x2),且x2≠x1时,不妨设x1<x2。

由(1)可知,x1∈(-∞,0),x2∈(0,1)。

以上两式相减得:

假设x1+x2≥0,根据x1∈(-∞,0),x2∈(0,1),则有x1∈(-1,0)。

两边同除以1-x1-(1-x2)=x2-x1>0,可得:

这与假设x1+x2≥0相矛盾,所以假设不成立。

综上所述,x1+x2<0。

例3(2016年全国Ⅰ卷理科第21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点。

(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2。

解析:(1)过程略。

(2)由(1)知a>0,0<x1<1<x2<2。

因为x1,x2是函数f(x)的两个零点,所以f(x1)=f(x2)=0。

因此,(2-x1)ex1=a(x1-1)2,则有ln

(2-x1)+x1=lna+ln

(x1-1)2。

同理,(2-x2)ex2=a(x2-1)2,则有ln

(2-x2)+x2=lna+ln

(x2-1)2。上述两式相减,并整理得ln(2-x1)-

两边同时除以(2-x1)-(2-x2)得:假设x2-1≥1-x1,则有x1+x2≥2。又因为0<x1<1<x2<2,所以

这与假设x2-1≥1-x1,即x1+x2≥2相矛盾,所以假设不成立。

综上所述,x1+x2<2。

总而言之,关于零点和的取值范围问题,在近几年的高考试题和模拟试题中出现的频率较高,在平常解题时要多加留意,主动探究归纳,发现问题的本质,提炼出这类问题的解题规律,有了这些规律,做题时就可以化繁为简,水到渠成,而且对于解题能力的提高往往能起到事半功倍的效果。

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