N个平面最多可将空间分成多少个部分

王慧玲

江汉油田广华中学 湖北潜江 433124

在立体几何中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分？”答案是“4个部分。”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分？”的问题，由于去掉了“相互平行”的条件，这个问题必须分类讨论回答：

1.当3个平面相互平行时，分空间为4个部分；

2.当有且仅有两个平面平行时，分空间为6个部分；

3.当3个平面两两相交于一条直线时，分空间为6个部分；

4.当3个平面两两相交，3条交线不交于同一点时，分空间为7个部分；

5.当3个平面两两相交，3条交线交于一点时，分空间为8个部分。

于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论。在这一背景下，提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分？n个平面又将空间最多分成多少部分？”

首先应明确，当这n个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1.这n个平面两两相交；

2.没有三个以上的平面交于一点；

3.这n个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n个平面分空间的部分数为an，易知：

当n=1时，a1=2；

当n=2时，a2=4；

当n=3时，a3=8；

当n=4时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交，且交线互不平行，每3个平面相交于一点，4个交点就是三棱锥的4个顶点。每个顶点各自“对着”一部分空间，4个顶点，6条棱，4个面“对着”14个部分空间，但4个面中间围了一部分空间，所以4个平面最多可将空间分成15个部分。可知a4=15。

从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题再进一步简单化，将空间问题退化到平面问题，三维退化到二维，二维退化到一维。

一、n个点最多可将一条直线分割成多少个部分

记n个点最多可将一条直线分成部分数为cn，易知，且每增加一个点，会把原有的线段（射线）中的某一个线段（射线）一分为二，即

二、n条直线最多可将平面分割成多少个部分

假设这n条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点，设n条直线最多可将平面分割成 个部分，那么：

当n=k时，设k条直线将平面分成了bk个部分，接着当添加上第k+1条直线时，这条直线与前k条直线相交有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分割成k+1段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了k+1个区域，故得递推关系

显然当k=1时， ，当k=1，2，……n-1时，我们得到个式子：

我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定bk与bk+1的递推关系，最后得出结论。接下来我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题。

三、n个平面最多可将空间分割成多少个部分

设k个平面将空间分割成ak个部分，再添加上第k+1个平面，这个平面与前k个平面相交有k条交线，这k条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第k+1个平面就被这k条直线分割成bk个部分。

而这个bk部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第k+1个平面后就把原有的空间数增加了bk个部分。由此的递推关系

当k=1，2，3……n-1时，我们得到如下n-1个关系式：