在“逆过来”做中走向“有序”
2019-03-20蔡雯丽
蔡雯丽
【摘 要】基于数据分析观念内涵的深刻理解，“可能性”一课的教学重点可以指向“体会数据随机”上。具体而言，在教学安排上通过摸球游戏一摸到底，逆过来做实验，在实验中触摸数据，感悟大小，感受从“无序”的随机实验变成“有序”的统计规律，最终形成随机观念并体验统计规律性，达到体会数据随机的目的。
【关键词】可能性;实验操作;数据随机
一、“实验必不可少”——厘清教材编写意图，定调实验操作
对于“可能性”这一内容，人教版老教材中分两次编排：一次是在三年级上册，让学生初步体验有些事件的发生是确定的，而有些事件的发生是不确定的，知道可能性大小和数量有关，能罗列出事件发生的所有可能性。
三年级上册
第二次是在五年级上册，让学生在三年级基础上深化，从定性向定量过渡，不但能用恰当的词语来表述事件发生可能性的大小，还要学会用分数的形式来表示事件发生的概率。
五年级上册
在新教材中，这一知识明显有两个变化。
1.内容后移，合二为一：从两个阶段的教学变为一个阶段的教学，集中安排在五年级上册进行教学。
2.难度下降，重视随机：三个例题承载的教学目标不同，但是毫无疑问，对于“用分数表示事件发生的概率，能计算一些简单事件发生的可能性”已不做要求，而对“体验随机事件”这一目标做了明确的要求。
【思考分析】
为什么会有这两个变化，对于“可能性”教学有什么指导意义？我们不难发现，无论新旧教材，例题都以“活动”展开，因此在“可能性”教学中，实验必不可少！实验的目的是什么？作为一节统计与概率领域内容的课，课标中明确提出一个核心词：数据分析观念。即了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着的信息;了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性。
设计合理的实验，从而达到“体会数据随机” 的目的，这就是笔者在“可能性”中设计实验操作的出发点！
二、“逆过来”做——基于前测学情分析，确定实验操作方式
学生已有的认识和经验，对于数学新内容的理解和认识，具有至关重要的作用。对于“可能性”需要达成的目标，对于“数据随机”，学生到底已经站在了一个怎样的起点上呢？为了找准学生学习的真正起点，我们对五年级学生进行了前测（共 138人）。
【前测内容】
【前测结果】
【思考分析】
数据随机，它包含两方面的意义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的;另一方面，只要有足够的数据，就可能从中发现规律。
1.触摸数据，让数据说话。从前测调查可见，对于小学阶段唯一一次概率教学的可能性知识，学生对于用“一定”“可能”“不可能”描述简单随机现象以及可能性大小与数量有关没有困难，那么设计实验时需要注意什么？实验的目的不应只是学生原有生活经验的展示，更应该是学生数学思考的发展！我们需要引导学生通过蕴含随机现象的实验过程，在实验中逐步感受随机现象的特点， 体会相应的思维方式，积累学习经验。引导学生从数据的角度看待可能性大小，养成用数据分析问题的习惯。
2.“逆过来”做，感受规律性。从前测中我们可以发现，学生对于随机现象统计规律性的理解有困难，那么这就是本节课实验的重点目标。为了达到这一目标，我们尝试“逆过来”做实验，即不知道袋中球个数的情况下进行摸球实验，得到数据，在数据不断增加的情况下，结果呈现一定的规律，利用规律，学生对袋中球的情况进行科学合理的推断。
三、“一摸二放三再摸”——分步推进实验操作，体验随机观念
基于学生的学情分析，将教材例题合理整合，设计合理的实验操作，配以有效的引导，我们或许可以这么做：
在“足够多的数据”实验中合理进行引导，将学生的思维从数据的“无序”状态引入数据的“有序”状态，感受规律性，体会数据随机的思想，更好地发展统计观念。
思考一：一摸，触摸“随机”，体会“无序”
【教学片段】出示游戏规则
要求：谁来摸一摸，看看能不能获奖？
3名学生都摸出蓝球。
提问：看来大家运气都不太好，摸到现在，你有什么想说的？
生：袋子里蓝球有很多。
生：老师太赖皮了，有可能一个黄球都没有。
师：看来同学们对袋子里的球有疑问，想看吗？
（球一个个拿出来，5个蓝球）
师：现在你又有什么想说的？
生：都是蓝球，怎么可能拿出黄球呢？
生：怎么摸都摸不到奖品。
师（小结）：是呀，袋子里都是蓝球，所以摸出的球一定是蓝球的，也就是说不可能摸到黄球。看来，抽奖箱里只有蓝球的时候，摸一个球它的结果是确定的。这样摸奖公平吗？现在我放入黃球（一个一个放，袋中共5黄5蓝），摇均匀，现在你们觉得公平吗？
生（齐声）：公平。
师：采访你一下，你希望摸到什么颜色的球？一定能摸到吗？那就请你摸一摸吧！（生摸到黄球）
师：再请一个学生来摸一摸，他会摸到什么颜色的球呢？一定是黄色吗？
生：可能是黄色，也有可能是蓝色。
师（小结）：通过刚才的摸球游戏，我们发现当箱子里有蓝球、有黄球时，摸一个球，会有两种结果，可能摸到蓝球，也可能会摸到黄球。能确定吗？（板书：不确定）
【思考分析】
实验是否需要做？这是笔者首先思考的问题。基于学情，学生知道结果的确定性与不确定性和袋中球的颜色有关，那么实验还有没有做的必要性呢？张丹教授曾指出：一部分学生对统计数据不敏感，一个重大原因就是相关实验做得太少，没有经验积累。在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思维，让学生学会用概率的眼光去观察大千世界，而不仅仅是用确定的思维方式去理解事物。基于“概率”知识的本性和学生随机思想的发展，实验是必要的！
“随机”，通俗地说，就是实验结果谁也不知道下一次是什么，但经大量实验后其结果又有点规律。要让学生知道有“随机”这么件事儿，但是并不随人的意念，即不管多想摸黄球，摸到黄球和蓝球皆有可能，不能确定。
从建构主义的立场出发，学习并非一种机械的、高度统一的过程。第一次摸球实验，目的停留于“随机”“不确定”层面，经历“跃跃而试的冲动”→“对袋内装球的怀疑”→ “知道袋中球后理性地尝试”的过程，从确定思维到不确定思维，引导学生走向对“随机”的认识，明白“随机”的那么件事儿。在第二轮尝试摸球的实验中，让学生进行预测分析，明白结果是不确定的，但是不确定中还存在着一定的数学规律。这样就使摸球游戏不仅是一次游戏，更多的是进行数学学习的一个材料，经历从生活经验走向数学本质的过程。充分感受不确定事件是可以重复发生的，虽然摸到的都是黄球，但是是哪一个黄球不确定，在一个个实验中触摸“随机”，体会“无序”。
思考二：二放，创造“随机”，感悟“大小”
【教学片段】
师：请你自己来设计一个抽奖游戏，和同桌说一说你会怎么放球。
交流：这么多情况，能用上刚才学到的“可能”“一定”“不可能”来评价一下吗？
生1：10蓝，一定能摸到蓝球，不可能摸到黄球。
生2：10黄，一定能摸到黄球，不可能摸到蓝球。
生3：其他几种情况，有可能摸到蓝球，也可能摸到黄球，不确定。
师：这么多方案，如果是你，你会选择哪个方案来抽？说说你的想法？
生1：我会选择1号方案，这样我就一定能中奖了。
师：他是从谁的角度考虑的，如果老板，他同意吗？
……
师小结：看来都关注到了黄球和蓝球的个数，认为个数多的，摸到的可能性就大，个数少的，摸到的可能性就小。
【思考分析】
实验如何进行到底？实验必须做，不可能是把几个实验做一个简单的加法，那么如何将摸球实验的情境贯穿始终，在实验不同环节达成不同的目标，真正做到一摸到底呢？五年级学生的思维处于形象思维逐步向抽象思维过渡的发展阶段，在可能性概念教学中，重视直观性、感知、体验，无疑是必要的。但如果止步于对事物的感知，忽视对概念本质特征的抽象与概括，这样做实际上低估了学生的学习能力，势必影响其抽象能力、概括能力和推理能力的发展。
这个实验环节，让学生自己来设计游戏，并且用上“可能”“一定”“不可能”来描述实验结果，进一步感受不确定现象。自己设计如何放球，关注的焦点是探索活动中摸球的规律，是不确定现象的一个数学模型，经历对随机经验进一步丰富的过程，为后面学习概率大小的规律性埋下基础。生活中充满了数学问题，但不是所有的问题都是数学问题。只有对生活中的现象进行抽象、推理、再创造，才能成为数学问题。“如果你是顾客，你会选择哪个袋子？”“如果你是老板呢？”学生在这样的角色代入中围绕可能性大小进行探讨，各抒己见，是对随机现象的再次解读，学生在自主创造“随机”的过程中，感悟“大小”。
思考三：三摸，摸出“规律”，走向“有序”
【教学片段】
引导：这里有一个袋子，按同学们刚才设计的方案放球，不直接打开袋子看，我们怎么做，可以比较准确地猜出黄球和蓝球谁多谁少呢？
生：一个一个摸出来。
生：多摸几次看看。
（师呈现PPT要求）
第一次猜测：从你们组摸出的黄球和蓝球个数来看，你们的猜测是怎样的？为什么这么猜？
师：有11个小组汇报了发现，你有什么想说的？
师追问：有什么办法可以进一步提高猜测的准确性？
第二次猜测：根据12个小组摸球的结果，你们小组现在的猜测是怎样的？为什么改变主意了？
第三次猜测：如果想要多看几组数据，让实验的结果更准确一些，我们怎么操作？
电脑模拟实验：
思考：我们已经模拟了3次摸球1000次的结果，看着这个摸球结果，现在你们的猜测是怎样的？而且你们能不能大胆猜测一下，可能黄球有几个，蓝球有几个？
师：到底怎么样呢？最终还得——把袋子打开看看。
师（提问）：通过刚才的实验过程，你发现了什么？
师（小结）：虽然每一次摸到的球的颜色不确定，但是黄球被摸到的次数多，说明它被摸到的可能性就大，可以推断出袋子中黄球的数量比较多。摸的次数少，可能会发生意外，但是实验次数越多，我们的猜测就会离真实情况越来越接近。
【思考分析】
实验如何操作？在这个过程中，一般有两种操作方法，一种是正向做实验，即给出袋中蓝球黄球个数，验证可能性大小，用实验去驗证猜测;一种是逆过来做，也就是笔者在本节课中所采取的方式。不正向地给出袋中球的数量，通过实验从数据中获取信息，对总体作出推断。
史宁中教授在《“数据分析观念”的内涵及教学建议》这篇文章中提出：对于先给出定义，教师往往比较习惯，而对于“逆过来”通过数据来进行推断，教师往往比较陌生。举个例子：一个袋子里有5个球，4个白球、1个红球，如果让学生通过摸来验证出现白球的可能性是[45]、出现红球的可能性是[15]，这不是统计。统计是这样的，告诉学生袋子里有很多球，有白颜色的和红颜色的，让学生去摸，摸到一定程度的时候，学生发现摸出白球的次数比红球的次数多，由此推断袋子里白球可能比红球多。进一步的话，能推断出白球和红球的比例大概是多少。再告诉球的总数的时候，能够估计出来几个白球和几个红球。这才是统计的过程。
课堂中我们可以看出学生对实验操作、数据分析的理解仍然处于“用确定性思维代替不确定思维”的阶段。学生对于实验次数增加会提高推断可靠性的认识还是比较缺乏的，所以怎样在“足够多的数据”实验中让学生感受到猜测规律是我们要解决的问题。
因为数据是随机的，用部分的数据进行估计有时可能会估计得准一些，有时会偏差很大，三次猜测让学生体会这种推断并不是“瞎猜”，而是在足够多的实验过程中找到一定的规律。三次猜测循序而进，体会在次数足够多的情况下，让学生充分感受到“随机”过程中的规律：多次重复实验中其出现的频繁程度就是一件事情出现的可能性大小。通过这一实验过程，学生从模糊地猜到有根据地进行推断，体现了统计的思想，深刻感悟随机现象的特点，摸出“规律”，走向 “有序”。
课堂实验的目的——形成随机观念并体验统计规律性。通过摸球游戏一摸到底，在实验中感受从“无序”的随机实验变成“有序”的统计规律！
（浙江省杭州市学军小学之江校区 310024）
