从小数除法看“运算感”

【摘   要】我国数学教学中对于计算教学，通常把目标定位于算法和算理。事实上，这样的定位并没有将运算过程的全部内容充分发挥出来。因此需要拓展对于运算过程的认识，从运算产生的背景、对算式的理解以及对运算结果的预测等多角度看待运算过程。为此有必要将计算教学的目标拓展为“运算感”。

【关键词】运算;计算;运算感;算法;算理;小数除法

“小数除法”的学习，通常安排在四年级或五年级的数学课程中。学生在自二年级开始的整数除法学习中，所经历的两数相除运算的活动，分别是“等分（Partition）”和“包含（Quotition）”。比如对于算式[12÷3=？]，可以理解为12个苹果平均分给3人，每人得到多少个？还可以理解为12个苹果平均分给若干人，每人分得3个，一共分给多少人？由此带来关于除法的经验中就会包括如下内容：

●除法运算源于“分”的活动。

●被除数是分的对象，除数表示分的方式，商表示分的结果。因此除数必须是整数，而且被除数应当大于除数和商。

基于这些认识开始小数除法的学习，就会出现一个“坎儿”，也就是如何解释含有小数的除法算式的含义？比如面对[0.2÷0.8]这样的算式，被除数小于除数，而且除数0.8小于1，利用整数除法的经验，难以构建出“分”的活动与这个算式相对应。因此对于小数除法的学习，首先应当是拓展对于两数相除过程所对应的背景活动的认识。

一、感受差异，澄清误解

学习小数除法的第一步，可以是通过与整数除法的对比，感受两者之间的不同，初步认识小数除法产生的背景。比如，首先出示两个语言结构完全相同的问题作为学习任务，让学生思考讨论。

任务1：用尽可能多的方法解决下面两个问题，并对比两个问题的相同之处和不同之处。

（1）如果买3千克苹果，共花费18元，那么1千克苹果多少元？

（2）如果买0.5千克苹果，共花费3元，那么1千克苹果多少元？

问题（1）是学生已经熟悉的平均分类型，把3千克苹果平均分为3份，其中的1份的价格就是1千克苹果的价格，因此不难列出除法算式[18÷3]，求出1千克苹果的价格等于6元。但對于问题（2），运用“分”的方法就很难想到列出算式[3÷0.5]，求出苹果的单价。

按照Siegbert Schmidt等人对日本五年级学生的研究，学生面对类似于问题（2）时，首先不是列出除法算式，而后进行计算，而是运用自身已有经验，直接进行问题的解决。[1]多数学生可能运用的方法主要有两个。

第一个是基于对小数0.5的认识，以及“加倍取半”的思维方式。知道0.5千克就是1千克的一半，也就是说1千克是0.5千克的2倍，因此1千克苹果的价格应当是3元的2倍，运用乘法算式[3×2]，可以求出1千克苹果等于6元。这样的过程其实是运用了乘法的思维。

第二个可能运用的方法是将0.5千克和3元同时扩大10倍，也就是买5千克苹果需要30元，因此1千克苹果的价格可以用[30÷5]计算出来，等于6元。这样的方法是在无意之中使用了除法商不变的规律。实质是运用了比例的思维方式（Proportional Thinking），用运动与变化的眼光看待乘与除的关系。利用表格可以把这样的关系清晰地表示出来：

[价格（元） 3 ？ 18 …… 30 数量（千克） 0.5 1 3 …… 5 ]

问题中出现了“千克”和“元”两类不同的量，用变化的眼光看，一类量增加或者减少，另一类量也随之增加或者减少相同的倍数。这样的过程中，就可以感受到[3÷0.5]与[30÷5]的结果是相同的。同时可以感受到，当除数小于1时，除法运算使得结果变大，拓展了整数除法中“越除越小”的认识。

在两个问题的对比讨论中，应当引导学生发现两个问题的共同点。第一个问题的算式[18÷3=]？，实质上是在问“几的3倍等于18”;按照这样的理解，第二个问题同样可以列出算式[3÷0.5=]？，实质上是问“几的0.5倍是3”。学生过去对于“倍”通常理解为扩大，有了小数之后，倍同样可以描述缩小。这样就将过去对于除法运算单一的“平均分”的认识，拓展为“乘法运算逆运算”。整数除法通常表达的是“缩小”的过程，小数除法也可以表示“扩大”的过程。

二、巩固提升，综合应用

通过任务1两个问题的思考讨论，学生可以初步感知到小数除法与整数除法的差异，小数除法计算主要依赖将小数转化为整数，以及用乘法看待除法。在此基础上，一方面这样的方法需要进一步巩固，另一方面也需要感知到加倍取半方法的局限性。为此可以出示下面的任务2让学生思考讨论。

任务2：用尽可能多的方法解决下面两个问题，通过对比，找到两个问题的不同之处。

（1）如果买2.5千克苹果，共花费15元，那么1千克苹果多少元？

（2）如果买2.4千克苹果，共花费14.4元，那么1千克苹果多少元？

对于问题（1），同样可以运用加倍取半的方法，从“2.5千克花费15元”，想到“5千克花费30元”，因此1千克苹果价格可以列式为：[15÷2.5=30÷5]，计算结果为6元。

对于问题（2），由于2.4加倍后仍然是小数，所以自然的想法是前面使用过的将2.4千克和14.4元同时扩大10倍，将[14.4÷2.4]改变为整数除法算式[144÷24]，计算结果为6元。通过对任务2的思考讨论，可以将学生对于乘法和除法两者关系的理解拓展为如下的认识：

●除法运算对应的未必一定是分的活动，经常是乘法的逆运算导致除法运算的出现。

●除法算式的计算，基本思路是将小数除法变为整数除法。

鉴于学生在实际情境中经常会混淆乘法和除法运算，因此还可以让学生利用计算器，经历乘法和除法同时出现的问题解决过程。

任务3：每个国家都有自己的货币，因此需要将货币进行转换。请你使用计算器，分别解决下面两种货币转换的问题。

（1）按照今天的汇率，用0.88元人民币可以兑换0.13美元。那么美元与人民币的汇率是怎样的？如果在美国消费了99美元，相当于人民币多少元？

（2）按照今天的汇率，用0.66元人民币可以兑换10.96日元。那么日元和人民币之间的汇率是怎样的？如果在日本消费了400日元，相当于人民币多少元？

这两个问题的设计，目的是为了澄清学生对于除法算式中，被除数要比除数和商大这一误解。所谓描述汇率无非是要计算兑换的问题。因此学生需要思考的问题可能是如下四个：

●1美元可以兑换多少人民币？（算式：0.88÷0.13）

●1元人民币可以兑换多少美元？（算式：[0.13÷0.88]）

●1日元可以兑换多少人民币？（算式：[0.66÷10.96]）

●1元人民币可以兑换多少日元？（算式：[10.96÷0.66]）

思考过程中出现的算式既有被除数大于除数的情况，也有被除数小于除数的情况;而且除数有大于1的情况，也有除数小于1的情况。因此学生可以充分感受到除法运算从整数到小数所发生的变化，拓展对于除法的认识。

对于“相当于多少人民币”的问题，事实上是一个开放的设计。可能用乘法，也可能用除法。比如，如果已知1美元兑换6.77元人民币，那么消费99美元相当于人民币的数额就要用乘法[99×6.77]计算;如果已知1元人民币可以兑换0.15美元，那么就要用除法算式[99÷0.15]计算。为了进一步将学生已有知识和经验与小数除法联系起来，可以给学生出示更加开放的任务。

任务4：举出尽可能多的实例，解释除法算式[0.2÷0.8]的含义。

面对这样的问题，整数除法中“分”的活动已经不再适用，期望学生能够运用在小数乘法中积累的经验，运用已经熟悉的量进行理解。

比如，从长度的角度看，两根绳子长度分别为0.2米和0.8米，如果要描述两者的关系，可以说：0.8米比0.2米多，或者0.2米比0.8米少“0.8-0.2”米。也可以说：0.8米是0.2米的“[0.8÷0.2]”倍;还可以说：0.2米是0.8米的“[0.2÷0.8]”倍。

如果从行程问题看，一只蚂蚁用0.8分钟爬行了0.2米，那么“[0.2÷0.8]”就可以表示蚂蚁每分钟爬行的距离，也就是蚂蚁的爬行速度。

总之，鉴于小数除法的实际意义与学生已经熟悉的整数除法的意义有很大差异，因此学习小数除法之初，应当把学习目标定位于“除”运算产生的背景以及对除法算式自身结构的理解，而不是竖式计算的方法。

三、运算感

美国华盛顿州立大学David Slavit教授曾经提出“运算感（Operation Sense）”的概念，[2]用于描述学生学习运算过程中的多种能力，这些能力可以表现为许多方面。

第一，对于一个算式自身的理解。比如面对算式[0.2÷0.8]，首先应当理解其中的0.2与0.8两个小数的含义，比如0.2是0.1的2倍，是1的五分之一。同时应当理解“[÷]”的多重含义，可以表示“分”的过程，也可以表示乘法的逆运算等。对于算式自身的理解还应当包括运算所遵循的规律，比如除法运算具备商不变的规律。如果除数大于1，那么除得的结果应当小于被除数，如果除数小于1，那么结果应当大于被除数，这一点与乘法缩放过程正好相反。[3]

第二，对算式产生背景的理解。比如对于[0.2÷0.8]，应当知道什么情况下会出现这样的算式。有时是描述两个量之间的倍数关系，有时是描述两类按比例变化的量之间转换的率（Rate），也有时是在乘法运算中，已知乘积和一个因数的情况下，求另外一个因数。

第三，与其他算式之间关系的认识。对于[0.2÷0.8]，运用商不变规律可以知道，与[2÷8]的结果相同。根据乘除运算的互逆关系，可以知道两个算式[0.2÷0.8=0.25]与[0.25×0.8=0.2]描述的是同样的数量关系。

第四，对运算结果的估计与解释。在没有计算之前，对于算式[0.2÷0.8]能够预测出其结果小于1，并且大于0.2，理由是因为被除数0.2小于除数0.8，并且除数0.8小于1。

第五，熟悉特殊的运算结果。比如[0.2÷2=0.1]，[0.2÷0.8]实际就是四分之一，用小数表示是0.25。诸如此类的事实，对于运用多种方法实施计算，往往是有益的。

第六，能够运用多视角以及多种方法得到运算结果。比如可以运用商不变规律将[0.2÷0.8]改变为两个整数2与8的除法运算。还可以将被除数和除数同时扩大5倍，使得算式改变为[1÷4]，继续将1扩大100倍，将算式改变为[100÷4]，此时利用整数除法的经验立刻知道结果为25，缩小100倍就得到[0.2÷0.8]的結果为0.25。

第七，能够在不同语境中清晰地辨别应当采用的运算类型。比如如果已知1美元兑换6.7元人民币;1元人民币可以兑换16.4日元。现在用1000元人民币，兑换为美元，或者兑换为日元，所采用的运算类型就是不同的。

我国的计算教学通常强调“算法”和“算理”，所谓算法往往仅理解为诸如竖式等标准算法，而算理通常理解为这样标准算法能够实施的理由。这样的理解显然是不够的，为了发挥数学运算过程更大的育人功能，在教学中应当把算法和算理的说法拓展为“运算感”。

参考文献：

[1]Siegbert Schmidt and Werner Weiser. Semantic Structures of One-Step Word Problems Involving Multiplication or Division[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 28， No. 1 （Jan.，1995），pp.55-72.

[2]David Slavit. The Role of Operation Sense in Transitions from Arithmetic to Algebraic Thought[J]. Educational Studies in Mathematics，Vol.37， No.3（1998-1999），pp.251-274.

[3]郜舒竹.小数乘法起点在哪[J].教学月刊·小学版（数学），2018（9）.

（首都师范大学初等教育学院   100048）