数学建模：赋予学习的力量

詹旺飞

摘要：中学数学教学不但要教会学生解答题，而且要教会学生解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。因此，在中学数学教学中，教师必须向学生传授“数学建模”的思想。

关键词：数学建模;应用意识;抽象概括;系统归纳

长期以来，有很多学生在潜意识中认为自己没有能力学好数学。以前对数学教材的认识掩盖了学生学习的内部机制，曲解了学习内容。但其实，只有当学生从观察具体事例而获得直觉猜想，对不同的猜想的正确性的分析、比较、讨论，从而真正建构起自己的思想体系，数学学习才富有成效。因此，学生需要培养出这样一种数学头脑：会数学地提出问题、分析问题、解决问题。近年来，“数学知识在实际中的应用”及“从实际问题中建立数学模型”的教学越来越引起了人们的重视。

教学中怎样建模

模式建构的基本思想是教师通过创设问题情境，让学生体验教学建构的过程，从而取得创造性的数学活动经验，它是把“创造过程中的数学”纳入数学教育的一种可行的手段，因而，在数学教学中的重要作用越来越被数学教育工作者所认可。弗赖登特尔认为“学生自己发明数学就会学得更好”。在建构过程中，由于激发学生参与发现的热情，因而增加了学习数学的兴趣，增长创新智慧。

模式的建构必须从问题开始 模式的建构是一种创造性数学思维活动，“思维自疑问题”，没有问题就不可能有思维，当然更谈不上创造性思维。

随着经济的发展，把生活中的经济问题转化为常规数学问题是数学建模中常见的例子。如某公司向银行贷款40万元用来开发某种新产品，已知该贷款的年利率为15%（不计复利，即还贷前每年利息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需几年后才能一次性还清。（利润=销售额-成本-税款）。

略解：设需x年后才能一次性还清贷款，根据所得利润等于贷款的本息和得：（4×20-2.3×20-4×20×10%）x=40+40×15%x整理得x=2答：略

解决这类产销问题，首先要理解“成本价”“销售价”“利润”“本息和”名词的意义。明确有关量之间关系式：利润=销售额-成本-税款，本息和=本金+本金×利率×期限，销售利润率=销售利润÷成本×100%等，通过“模型”移植建立数学模型，使之成为常规数学问题，这不仅能体会理论与实践相互关系和相互作用，还能从结果的实际意义中看到数学的价值。

教材是一种导向，要求教师和学生不仅要重视数学建模思想，还要有的放矢地采用，去解决一类实际应用问题。而设定一个或几个难度恰当的问题对模式的建构至关重要。而且它一般是以某种情境给出，既要有典型性和启发性，又要背景丰富引人入胜。

模式的建构必须充分发挥学生的主体作用 现代建构主义的学习论认为：学生的数学学习并非是被动吸收知识的过程，“而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程”。这就是说，主体只有亲身经历自己内心世界的建构和体验才能更好地学好数学。

模式的建构过程正是猜想与证明的过程 模式的建构，是学生模仿数学家发现真理创造模式的过程。而要实现这个过程，既需要形式逻辑思维，更需要观察、实验、归纳、类比、抽象、猜测等辨证逻辑思维。因此，在这个教学过程中，教师既要教猜测，又要教证明。G·波利亚认为“先猜后证——这是大多数的发现之道”。

猜测在数学学习中非常重要，尤其几何证题中。如教材第三册中讲授定理全等三角形对应角的平分线对应相等，在学此定理后，教师应及时指导学生猜测与此类似的命题，通过学生讨论可得出“全等三角形对应边上的高线、中线对应相等”，然后教学生证明。类似的还有“等腰三角形两底角的平分线相等”，先教学生猜测类似的命题“等腰三角形两腰上的高线、中线相等。”在猜测和证明的过程中，引导学生模仿数学家发现真理创造模式，从中学会数学的思想，学会从方法论的角度去自覺地总结数学活动中的经验。

学生建模能力的培养

细水长流，培养学生数学应用意识 数学问题源于现实生活，是从生活、生产实际问题中抽象出来的。所以在数学知识、数学方法、数学思想的传授时，应尽可能地联系生活、生产实际。

首先，在教学中重视数学概念的实际引入，如通过“温度计”引入负数;由直角三角形的勾股定理引入无理数;用“细胞分裂”的实例引入了指数函数和对数函数等。这样的教学既加深了学生对概念的理解，又培养了学生对应用问题的兴趣。

其次，用好课本上带有应用性的习题是培养学生建模能力的一个重要环节。在教材各章节中，编入了涉及广泛的应用知识习题，如测量建筑物的高度、两岸两点间的距离、控制人口增长、产量的递增、水池中喷水管的高度等。为数学知识的应用，加强建模训练，提高将实际问题“数学化”能力提供丰富的材料，在平常教学中应本着“能渗透，就渗透，能联系就联系”的原则，要克服单纯追求课堂上教学的容量，而忽视“实例引入”和“知识实际应用”的数学方法。

突破题意阅读关，提高学生抽象概括能力 在教学中，我们经常见到部分学生在解决实际问题时，往往表现得无从下手，束缚于旧知，苦思而不得其解，在已知与未知之间不能建立一种等量关系。而解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型，而要建立恰当的数学模型必须突破题意阅读大关。

由于应用题表达问题的方式较间接，题意转化较为困难，部分学生往往因读不懂题目而采取回避的态度，久而久之，看到应用题就害怕，失去解题的信心。

要解决上述问题，首先教师应明确目前学生的认知水平，必须考虑到学生的生活阅历及掌握的数学知识和解题经验。其次应积极引导学生主动理解题意，重视语言的转化，切不可为学生代劳，要启发学生自己总结数学模型，切不可贪快贪多。在教学中教师指导学生阅读题目建立模型一般分为三步：阅读原题寻找关键词，明确题意;设置未知数，实践阶段列式目标;寻找关系，建立模型。

系统归纳，提高学生的数学建模能力 系统归纳常见的数学模型是提高学生建模能力的重要途径，因此在教学中及时指导学生归纳整理，形成能力，消除畏难情绪，提高建模能力。如建立函数模型，其特点题目往往涉及最优化问题，如前面提到的销售价;建立不等模型，其特点：题目中涉及到“不超过……”“不少于……”“至少……”“至多……”等叙述句;建立方程模型，其特点题中有等量关系;建立几何模型，其特点涉及行走路线、测量、航行等。

结束语

数学素质可归结为“归纳，演绎，建模，创新”，而数学来源于实际，又应用到实际中去。我们既要重视基础知识，基本技能，更要重视基础知识、基本技能的转化应用，只有这样的数学教学，才能掌握数学的内函，形成全面的数学素质。因此，在数学教学中，要把培养建模能力和创新能力作为突破口，经常地、有意识地把有关的数学知识与现实生活联系起来，引导学生运用数学立场、观点、思想去观察分析各种社会现象，寻找其本质特性，建立数学模型达到解决问题的目的。

参考文献

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[2]戴再平.数学习题理论[M].上海：上海教育出版社，1996.

[3]徐利治、郑毓信，数学模式论[M].南宁：广西教育出版社，1993.

（作者单位：浙江省诸暨市开放双语实验学校）