巧用数形结合，优化初中数学教学

贺明

摘 要：数形结合的实质就是有效将直观图形与数学语言相结合，令形象思维与抽象思维相融合，从而通过数形转化以及图形认识培养学生的形象性思維，进而使得复杂的数学问题变的简单化，抽象的数学问题趋向于具体化。可以说，数形结合能扬数之长，取形之优，使得数形珠联璧合、相映生辉。因此初中数学教学过程中，教师要适时渗透数形结合思想，从而使得学生有效运用数形结合思想解决相关的数学问题。

关键词：数形结合;初中数学;课堂教学

数形结合是数学科目中一种极其重要的科学方法，其既能够培养学生的创新精神，又能够发散学生的思维，还能够提升学生的解题能力。因此，教师不妨巧用数形结合思想，优化数学教学过程，提升教学质量。

一、引导学生用代数方式有效解决几何问题

用代数方式有效解决几何问题，就是用数的方式解决图形的问题。如图形的周长、面积或者其他的相关性质，都可以通过代数方式解决。

如这道例题：已知三角形ABC的三边分别为m2-n2，2mn，m2+n2，其中m，n均为正整数，且m>n，求三角形ABC的面积。（用含有m、n的代数式表示）图形的面积是一个几何问题，一般而言，要想求出三角形的面积，就要知道三角形的底和高，然后通过底乘以高除以2的公式得出三角形的面积。但是在上述题目中，我们显然无法知道三角形的底和高，因为题目中就给出了三角形的三个边长。通过三个边长这个已知条件，学生有可能就会想到，如果这三条边满足a2+b2=c2，那么就说明这个三角形是直角三角形，两条直角边就是三角形的底和高，进而就能求出三角形的面积。所以我们可以展开数的变形计算：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，其满足直角三角形的三边关系，所以三角形ABC的面积就是（m2-n2）×2mn，化简后就是m3n-mn3。

以数助形的题目还有很多，如证明圆内接矩形中正方形的面积最大。这个几何证明题目，如果用几何作图的方式证明，就很难找到证明的突破口。但是如果用代数中求最值的方法来证明，则比较容易。学生可以通过圆半径r与矩形边长x，表示出矩形的邻边长，进而矩形的面积就是矩形边长乘以矩形邻边长，求其最大值，就是圆内接矩形的最大面积。

二、引导学生运用数形结合思想解决具体问题

实际生活中的很多数学问题，都可以通过数形结合的思想加以解决。而且数形结合的思想贯穿于数学学习的始终，只是很多学生在学习时没有意识到。如在小学低年级阶段，经常会有这样的题目：小明家住在几楼，小明家以下有几层楼，以上有几层楼，小明家所在单元楼总共有几层。如果学生能够通过作图的方式，就很容易计算出总体的楼层数。小学高年级遇到的植树问题，在总长多少的道路上，每隔多少米植一棵树等，也可以通过作图的方式解决。

到了初中，当然也会遇到需要运用数形结合思想的数学问题，比较有代表性的应用题目就是路程中的相遇问题，某人或者某车从两地相向而行，多长时间相遇，然后求速度或者路程。这种类型的题目也能够通过作图的方式快速解决，因为图形会帮助学生一目了然地了解其中的数量关系。教师还可以引导学生在日常的学习活动中进行总结归纳，把所有适用于数形结合思想的题目总结到一起，进而快速解决。

三、引导学生结合图形理解数学概念、性质定理

数学科目中会涉及大量的概念和定理，有些概念法则是通过推导得来的，有些概念法则是在长期的数学发展中约定俗成的，还有些概念法则与图形有着密切的联系。所以，在引导学生深入理解概念法则时，教师不妨通过作图的形式，从而让学生知其然也知其所以然。

首先是引导学生结合数轴理解实数的相关概念。何为实数？有理数和无理数统称为实数，数轴上的点与实数一一对应。那么什么是相反数呢？表示在数轴上就是到数轴原点距离相等的数，与此同时，学生也会理解绝对值的意义，绝对值就是距离，所以无论是正数还是负数，他们的绝对值都是正数，因为只有正数才能表示某一点到原点的距离。可以说，一个数轴，就能帮助深刻理解实数、相反数以及绝对值等概念的意义。而且在数轴上，数的大小关系一目了然，所以学生在比较负数的大小时，就更能清楚其中的意义。

其次是函数的相关性质。如一次函数的斜率，表示在函数图像上就是直线的倾斜程度。如一次函数的截距，其意义就是一次函数图像与y轴交点到原点的距离。如二次函数的对称轴，就是函数图像处于最高点或者最低点时所对应的与x轴垂直的直线。

再次，方程与函数也有着一定的联系。二元一次方程所对应的解，就是二次函数与x轴的交点。如果二元一次方程有两个解，那么就是二次函数与x轴有两个不同的解。类似的，还有二元一次方程一个解和没有解时，二次函数图像均与x轴有着不同的交点。

总而言之，数形结合是一种非常重要的数学思想，如果学生学会了数形结合思想的灵活运用，那么学生就能更深刻地感受到解决数学问题的成就感，就能增强学好数学的自信心。因此，教师要在教学活动中有效渗透数形结合的思想，从而全面提升学生的数学素养。

参考文献：

[1]徐朝君.例谈数形结合在解题中的应用[J].中学数学教学参考，2019（15）.

[2]黄利军.数形结合在初中数学高效课堂中的运用[J].新课程（下），2019（6）.

编辑 冯志强