气动并联机器人的结构设计及控制

王 涛， 朱爱东， 陈金兵, 孙中杰

(北京理工大学自动化学院， 北京 10081)

引言

高速机器人机械臂目前已广泛应用在电子、轻工、食品和医药等生产行业中[1-2]。机械臂按其机械结构可以分为并联机械臂和串联机械臂两类。串联机械臂以串联机构为其机构原形，一般由基座、腰部(或肩部)、大臂、小臂、腕部和手部组成并以串联方式连接。并联机械臂以并联机构为其机构原形，通常由基座、臂部以及连接件组成[3]。并联机械臂的所有驱动机构都可以安装在基座上或基座附近[4]。并联机械臂采用闭环结构，相对串联机械臂而言具有一些独特的性能，如刚度大、对称性好、承载能力强等[5-6]。气动驱动型并联机械臂具有成本低、动作可靠、能源清洁等优点。

本研究结合三自由度并联机械手，由其机械结构得到了其运动学的正解与逆解。接着以二自由度并联机械手为例，实验验证了协调控制算法。

1 三自由度机械臂的结构布局与坐标系建立

如图1a 所示，结构主要包括1基座，2气缸，3活动底座，4万向节，5连接球铰。3个万向节将气缸与基座连接起来，在基座上形成1个等边三角形，万向节可使气缸实现旋转与俯仰运动；3个气缸作为机械臂的驱动副，协同工作使活动底座运动；3个连接球铰在活动底座上形成1个等边三角形。

图1 三自由度机械臂

如图1b所示，建立OXYZ坐标系，O位于基座上万向节形成的等边三角形的中心；OXY平面位于基座平面上；Z轴垂直于基座；OY轴垂直于等边三角形的某边，设为A′B′。基座中O点到3个万向节距离设为m、活动底座上中心点到3个顶点的距离设为n、3个驱动副原长为L0。

2 三自由度机械臂的运动学分析

2.1 位置正解

已知机构的各个连接关节的角度或位置求解出机构末端位姿即为运动学的正解[7]。由三自由度机械臂的布局特点知：

(1)

c(0,-(m-n),0)

S(x,y,z)

式中，m为基座上等边三角形顶点到其中心的距离；n为活动底座上等边三角形到其中心的距离。令w=m-n,由距离公式可得：

由式(2)可解出S的坐标如下：

(3)

式中，L0为气缸原长；La,Lb,Lc为3个气缸的伸长量。

2.2 位置逆解

已知机构的末端位姿推导出各个连接关节的角度或位置即为运动学逆解。已知活动端坐标S(x,y,z)，求各缸伸长量La,Lb,Lc，由式(2)可得下式：

解之可得下式：

2.3 速度模型

动平台中心S的运动速度如式(6),则根据逆解求出三个气缸的运动速度如式(7):

(6)

(7)

将式(5)代入式(7)得:

(8)

3 三自由度机械臂运动空间分析

3.1 结构约束

1) 万向节转角约束

设β1,β2,β3分别为aO与aS，bO与bS，cO与cS的夹角。由余弦定理可得下式：

(9)

假设β1,β2,β3的最小夹角分别是β1min,β2min，β3min，最大夹角分别是β1max,β2max，β3max,则机械臂的夹角约束为：

(10)

2) 机械臂的长度约束

设T为气缸的行程，则易知机械臂长度约束满足下式：

(11)

3.2 奇异位置分析

(12)

其中，

当J1非奇异时，即可得到雅可比矩阵J的表达式，但其表达式较为复杂，这里仅给出简化的表达式，如式(14)所示:

(14)

当雅可比矩阵行列式值为0时，并联机械臂出现奇异位形。对式(14)而言，当矩阵J1不可逆时，机械臂出现正向运动学奇异。从数学上求解方程det(J1)=0并找出所有正向奇异位形点是很困难的，可从机械结构的几何性质上直观找出所有奇异位形点。

当3气缸共面，即z=0时，会出现奇异构型，但从机械角度分析不会出现这种情况。

4 二自由度机械臂协调运动控制实验

以并联机械手末端动平台直线运动为例进行双气缸的协调运动控制，为了使动平台受到的2个气缸的力平衡且保持水平姿态，需要使2个气缸的位移时刻满足运动学约束关系，基于此研究了双气缸协调运动控制算法[8]，实验装置如图2所示。

1.电/气比例阀 2.直线导轨 3.轴承滑块 4.气缸 5.位移传感器 6.辅助伸缩杆 7.辅助杆连接件 8.动平台 9.固定彩笔 10.定平台

本研究使用两个低摩擦气缸作为运动器件，并采用流量型电/气比例伺服阀作为驱动单元。使用STM32F103作为控制器，PC即作为上位机进行发送控制指令和显示相关信息。气缸的运动控制过程为首先嵌入式控制器根据上位机接收的目标信号与传感器信号进行比较并通过控制算法输出相应控制量，控制量经过D/A转换和信号放大驱动电/气比例伺服阀，使气缸按照设定的目标任务运动，通过实时采集气缸的运动状态和实时控制实现气缸的运动控制。

4.1 两机械臂协调控制算法

首先明确并联机构的运动目标，根据运动目标进行轨迹规划确定运动路径。基于并联机械手的运动学分析和支链间的约束关系，分别对每个气缸进行运动学逆解，得到并联机械手动平台在对应运动轨迹上的每个气缸的期望位移，并在对应的位姿下对每个气缸进行控制，各个气缸控制器根据期望位移与实际位移的的误差来驱动[9]。

考虑到并联双气缸运动过程中的相互影响，应采用以下协调控制方法：通过2个气缸位移的误差进行对比，按照一定的比例对2个气缸的控制量进行补偿[10-11]。在双气缸的控制器中相互含有对方的信息，实现了2个气缸控制量之间的通讯，从而使得2个气缸的位移误差之差变小，2个气缸的运动趋于同步，实现2个气缸的协调运动。

SL和SR是左右2个气缸的期位移一输入，fL,fR是左右2个位移传感器检测的气缸位移，气缸控制器的输入为2个气缸的位移误差分别是eL和eR,输出分别是ωL和ωR;协调控制器的输入为eL和eR,输出为σL和σR；控制系统的控制变量输出为τL和τR协调控制器两个气缸误差分配式如下：

(15)

(16)

式(9)和式(10)中sgn(eL·eR)是符号参数,其表达式如式(11)。Kc是气缸运动的协调比例系数,是气缸的协调加权系数，取值范围为[0,1]。

(17)

由上可得并联机械手中两个气缸的协调运动控制输出为:

(X=L,R)

(18)

根据以上分析过程可得到双气缸协调控制原理图，如图3所示。

4.2 正方形轨迹实验

为了验证协调控制算法的有效性，我们让并联机械手沿正方形轨迹进行运动，机械手末端动平台运动速度为120 mm/s，通过运动学正解得出动平台中心点的运动轨迹如图4所示，图5～图8为对应AB，BC，CD，DA轨迹段实迹轨迹与期望轨迹的偏差。

图3 并联机械手协调控制原理图

图4 方形期望运动轨迹与实际运动轨迹

图5 AB段实际轨迹与期望轨迹偏差曲线图

图6 BC段实际轨迹与期望轨迹偏差曲线

4.3 圆形轨迹实验

机械手末端动平台中心点的运动轨迹如图9中圆形，机械手末端动平台运动速度为120 mm/s，通过运动学正解得出动平台中心点的运动轨迹如图9所示，图10为实迹轨迹与期望轨迹的偏差，即实际轨迹对应θ角上点到圆心距离与期望圆半径的差值。

图7 CD段实际轨迹与期望轨迹偏差曲线

图8 DA段实际轨迹与期望轨迹偏差曲线

图9 圆形期望运动轨迹与实际运动轨迹

图10 圆形实际轨迹与期望轨迹的偏差

通过对并联机械手方形轨迹运动和圆形轨迹运动分析，机械手末端动平台最大运动位置偏差为4 mm，此运动误差可能是由机械关节连接处存在微小间隙引起。

5 结论

本研究主要研究了一种新型并联机器人的机械结构设计，并分析了机械结构的运动学正解、逆解与工作空间。针对并联机构的约束性，设计了一种协调控制算法，并在二自由度并联机械臂进行了画圆与画方的实验。

首先根据三自由度气动并联机器人的机械结构及运动特征得到了机械臂末端的运动学正解和逆解，并根据机械结构的约束，对机械臂的运动空间进行了分析；接着以二自由度并联机械手为例，对并联机构的运动协调控制算法进行了探究；最后通过有无协调控制算法的运动控制实验，以及圆形轨迹实验验证了本研究协调算法的有效性。机械结构的设计与计算为实现三自由度并联机械臂提供了依据，协调控制算法的验证也为后续设计三自由度并联机械臂协调控制算法打下了基础。

协调控制算法目前只是针对二自由度机械臂的协调控制，还没有设计针对三自由度并联机械臂的控制算法。三自由度并联机械臂相比于二自由度并联机械臂，末端运动自由度增加、机械臂间约束增多、运动空间增大，这些导致协调控制算法会更复杂，后续工作还需要针对三自由度并联机械臂设计协调控制算法。