构造可导解析函数常见类型例析

宋波 魏国斌

摘 要：构造可导解析函数的问题已成为高考数学试题和模拟题中客观性试题的热点和难题，本文例析通过逆向思维构造可导解析函数的四种常见类型.

关键词：逆向思维;构造;解析函数;求导

基金项目：兰州市教育科学“十三五”规划2018年度规划课题“基于数学结构观下的解题与教学研究”（项目编号：LZ[2018]GH461）.

作者简介：宋波（1971-），男，甘肃甘谷人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教学研究;

魏国斌（1984-），男，甘肃会宁人，本科，中学二级教师，研究方向：中学数学教学研究.

近年来，高考数学试题和模拟题的客观性试题中常出现构造可导解析函数的问题，它旨在考查学生熟练掌握函数的求导公式和法则的基础上，通过逆向思维构造可导解析函数的能力.这类试题因思维含量高，综合性强，难度大，故不易求解，已逐渐成为高考客观性试题中的热点和难题.要解决这类问题，需要熟练掌握一些特殊解析函数的导函数，即能通过求导公式和法则构造这些特殊导函数的原函数，从而使问题迎刃而解.

类型1 若f ′（x）=ex，则构造f（x）=ex+C（C为常数）

例1 函数f（x）在其定义域内满足xf ′（x）+f（x）=ex，且f（1）=e，则函数f（x）的极值情况正确的是（ ）.

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值又无极小值

解析 由xf ′（x）+f（x）=ex构造[xf（x）]′=ex，再构造xf（x）=ex+C.

又f（1）=e，解得C=0.所以f（x）=exx.

所以f ′（x）=ex（x-1）x2.

所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，1）上单调递减，在[1，+∞）单调递增.所以f（x）在x=1处取得极小值，无极大值，故选B.

类型2 若f ′（x）=xex，则构造f（x）=（x-1）ex+C（C为常数）

例2 若函数f（x）满足xf ′（x）-f（x）=x3ex，且f（1）=0，则当x>0时，f（x）（ ）.

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值又无极小值

解析 当x>0时，构造f（x）x′=xf ′（x）-f（x）x2=x3exx2=xex，

再构造f（x）x=（x-1）ex+C.

又f（1）=0，解得C=0.所以f（x）=x（x-1）ex.

所以f ′（x）=（x2+x-1）ex.令f ′（x）=0，解得x1=5-12或x2=-5-12（舍去）.

所以当x>0时，x∈0，5-12，f ′（x）<0;x∈5-12，+∞，f ′（x）>0.

所以当x>0时，f（x）有极小值f5-12，无极大值，故选B.

类型3 若f ′（x）=lnx，则构造f（x）=xlnx-x+C（C为常数）

例3 函数f（x）的导函数为f ′（x），滿足xf ′（x）+2f（x）=lnxx，且f（e）=12e，则f（x）的极值情况为（ ）.

A.有极大值无极小值

B.有极小值无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值也无极小值

解析 由xf ′（x）+2f（x）=lnxx，得x2f ′（x）+2xf（x）=lnx.

构造[x2f（x）]′=lnx，再构造x2f（x）=xlnx-x+C.

又f（e）=12e，可得 e2f（e）=elne-e+C.

解得C=e2.

所以x2f（x）=xlnx-x+e2.

所以f（x）=2xlnx+2x-e2x2.

则f ′（x）=-xlnx+2x-ex3.

令g（x）=-xlnx+2x-e，则g′（x）=1-lnx.

当x∈（0，e）时，g′（x）>0;当x∈（e，+∞）时， g′（x）<0.故当x=e时，g（x）取极大值0.

所以g（x）≤0恒成立.故f ′（x）≤0恒成立.

所以f（x）在（0，+∞）上单调递减.所以既无极大值也无极小值，故选D.

类型4 若f ′（x）=lnxx，则构造f（x）=12ln2x+C（C为常数）

例4 已知函数f（x）是可导函数，其导函数为f ′（x），且满足xf ′（x）+f（x）=lnxx，且f（e）=1e，则不等式f（x+1）-f（e+1）>x-e的解集为.

解析 由xf ′（x）+f（x）=lnxx，构造[xf（x）]′=lnxx，再构造xf（x）=12ln2x+C，所以f（x）=1x（12ln2x+C）.

又f（e）=1e，可得f（e）=1e（12+C）=1e.

解得C=12.

所以f（x）=1x（12ln2x+12）.

令g（x）=f（x）-x，

则g′（x）=-（lnx-1）22x2-1<0.

所以g（x）在（0，+∞）内单调递减.

因为f（x+1）-f（e+1）>x-e，

所以f（x+1）-（x+1）>f（e+1）-（e+1）.

即g（x+1）>g（e+1）.

所以0

故不等式的解集为（-1，e）.

简单的正向应用求导运算法则仅仅考查了学生对法则的掌握，而在此基础上构造可导解析函数，则更能检阅学生对求导运算的全方位把握，更能体现出数学思维的双向变通.正因为如此，考查构造可导解析函数应用的试题倍受命题者的青睐，意在考查学生熟练掌握求导法则应用的能力和灵活、变通应用的能力.

参考文献：

[1]宋波.构造可导抽象函数常见类型例析[J].理科考试研究，2014，21（03）：32.

（收稿日期：2019-06-28）