2019年全国Ⅰ卷理科第16题的多解及推广

张文鳢 杨诗棋 刘成龙

摘 要：本文给出了2019年全国Ⅰ卷理科第16题的多种解法及推广.

关键词：多解;推广;高考

基金项目：四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（项目编号：ZY16001）.

作者简介：张文鳢（1995-），男，四川广元人，本科在读，研究方向：数学教育;

杨诗棋（1997-），女，四川成都人，本科在读，研究方向：数学教育.

通讯作者：刘成龙（1985-），男，四川南充人，硕士，讲师，研究方向：中高考研究.

1 试题再现

试题 （2019年全国Ⅰ卷理科数学第16题）已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=AB，F1B·F2B=0，则C的离心率为.

2 試题解析

解法1 如图1，易知F1B⊥F2B，OA是ΔF1F2B的中位线，所以AO//BF2.

所以∠F1OA=∠OF2B，OA⊥BF1.

又因为∠F1OA=∠BOF2，所以∠OF2B=∠BOF2.

在Rt△F1BF2中，OB=OF2，则∠OBF2=∠OF2B.

于是∠OBF2=∠OF2B=∠BOF2.

所以△OBF2为等边三角形.

故tan∠BOF2=ba=3.

所以e=c2a2=1+b2a2=2.

解法2 如图1，设∠AOy=∠BOy=α，由OA//F2B可得∠AOB=∠OBF2=2α.

作BH⊥x轴于点H，则∠OBH=∠BOy=α.

所以∠HBF2=∠OBF2-∠OBH=α.

故∠OBH=∠HBF2.则△OHB≌△F2BH.

所以BF2=OB.

又因为OF2=OB，所以△OBF2为等边三角形.下同解法1.

解法3 设F1（-c，0），F2（c，0）.易知∠F1BF2=90°，

所以OB=12F1F2=c.

设Bm，n，则m2+n2=c2.

又因为点B在y=bax上，所以bam=n.

所以Ba，b.

又因为A为F1B的中点，则A（a-c2，b2）.

所以kOA=ba-c.

又因为OA⊥AB，所以kOA·kAB=-1.

即-ba·ba+c=-1.

所以b2=a2+ac，即c2=2a2+ac.

于是e2=2+e，得e=2.

解法4 由解法3知kOA=ba-c.

又因为kOA=-ba，所以ba-c=-ba.

所以e=ca=2.

解法5 易得kOA=kBF2=-ba.

则F2B的方程为y1=-ba（x-c）.

又因为直线OB方程为y=bax，

联立y1=-bax-c，y2=bax， 解得B（c2，bc2a）.

所以kBF1=bc2a-0c2--c=b3a.

又因为b3a·（-ba）=-1，所以b2a2=3.

所以e=ca=2.

解法6 由kBF1·kBF2=-1，lOA：y=-bax易得lBF1：y=ab（x+c）.

联立y=-bax，y=ab（x+c），解得A（-a2c，abc） .

因为A是F1B的中点，故B（c-2a2c，2abc）.

又点B在lOB：y=bax上，所以b（c-2a2c）a=2abc.

化简得4a2=c2，故e=c2a2=2.

解法7 易得OB=OF2=OF1，所以ΔF1OB为等腰三角形.

设∠OF1B=∠F1BO=α ，∠AOF1=β，则∠F2OB=2α.

易知tan2α=ba ，即tan2α=2tanα1-tan2α=ba.

又因为α+β=π2，所以tanα=1tanβ.

又因为tanβ=ba，所以tanα=1tanβ=ab .

于是2×ab1-ab2=ba ，化简得3a2=b2.

所以e=ca=2.

3  试题推广

推广1 已知双曲线C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=λAB其中（λ>12），F1B·F2B=0，则C的离心率为 2λ .

证明 设F1-c，0，F2c，0，由已知可得∠F1BF2=90°，所以OB=12F1F2=c.

因为点B 在右渐近线y=bax 上，故而设B（x1，bx1a），则x12+bx1a2=c2.

又因为c2=a2+b2 ，即Ba，b.

又因为F1A=λAB，所以由定比分点公式x1+λx21+λ，y1+λy21+λ可得A-c+λa1+λ，λb1+λ.

所以kOA=λb1+λ-c+λa1+λ=λbλa-c.

又因为kOA=-ba，所以λbλa-c=-ba.

化简得c=2λa.所以e=ca=2λ.

推广2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=AB，F1B·F2B=m（a2+b2）（其中m>-34），则C的离心率为 e=2 m+1.

证明 由题意知BF1·BF2=mc2.因为O为中点，所以BF1·BF2=BF1+BF222-BF1-BF222=BO2-OF22=BO2-c2=mc2.

所以BO2=（m+1）c2.

设B（x1，bax1）x1>0 ，则x12+（bax1）2=（m+1）c2. 解得x1=am+1.

所以B（am+1，bm+1），A（am+1-c2，bm+12）.

则kOA=bm+12am+1-c2=bm+1am+1-c=-ba .

化简可得2am+1=c，即e=2 m+1.

推广3 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若F1A=λAB其中（λ>12），F1B·F2B=m（a2+b2）（其中m>-34），则C的离心率为2λm+1.

证明 由推广2知，B（am+1，bm+1）.

又因為F1A=λAB，所以由定比分点公式得A-c+λam+11+λ，λbm+11+λ.

所以kOA=λbm+11+λ-c+λam+11+λ=λbm+1λam+1-c=-ba.化简得，c=2aλm+1 .

所以e=2λm+1.

（收稿日期：2019-07-29）