巧借圆的性质 妙解圆锥曲线

摘 要：本文结合2019年高考江苏卷第17题，借助圆的方程与基本性质，可以从平面几何与解析几何等多个角度加以切入进行破解，思维各异，方法多样.

关键词：圆锥曲线;定义;平面几何;坐标

作者简介：吴贤盛（1990-），男，浙江金华人，教育硕士，中学一级教师，研究方向：高中数学教学和解题研究.

在近年高考的圆锥曲线综合问题中，经常会碰到圆与圆锥曲线的位置关系问题，此类问题往往巧妙设置圆与圆锥曲线之间的位置关系，进而借助圆的方程与基本性质进行转化与处理，从而有效降低圆锥曲线的难度，成为近年高考圆锥曲线部分命题的一个趋势与热点.在圆锥曲线问题中，借助圆的方程与基本性质，可以从平面几何与解析几何等不同角度切入，为考生提供多种思维方式，可以有效考查各层次水平考生的数学综合知识与综合能力，有利于高考的区分与选拔.

1 真题在线

题目 （2019年江苏卷17题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F1（-1，0），F2（1，0）.过点F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1，已知DF1=52.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）求点E的坐标.

本题以圆与椭圆的位置关系的交汇与融合为问题背景，借助圆的方程与基本性质来确定相关线段的长度与关系，为直线、线段、角与椭圆等元素架起“桥梁”，形成有机组合体，从而确定椭圆的标准方程以及相关点的坐标问题.借助圆的方程与基本性质，可以从平面几何与解析几何等多个角度加以切入，思维各异，方法多样.

2 真题解析

2.1 第（1）问解析

解法1 （定义法）设椭圆C的焦距为2c.

因为F1（-1，0），F2（1，0），所以F1F2=2.

所以c=1.

因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=DF21-F1F22=（52）2-22=32.

因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C的标准方程为x24+y23=1.

解法2 （平面几何法）如图1所示，因为F2A=F2B，所以∠A=∠B.

因为F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D，所以AD= DF1，从而∠A=∠DF1A.

所以∠DF1A=∠B，则DF1//BF2.

因为c=1，所以b2=a2-1.

则椭圆方程为x2a2+y2a2-1=1.

取x=1，得yD=a2-1a.

则AD=2a-a2-1a=a2+1a.

又DF1=52，可得a2+1a=52，解得a=2（a>0）.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C的标准方程为x24+y23=1.

评注 根据题目条件，借助圆的方程与基本性质，可以结合椭圆的定义加以转化，也可以结合平面几何的相关性质加以应用，从不同角度确定椭圆中的参数值，进而确定椭圆的标准方程.

2.2 第（2）问解析

解法1 （坐标法）由（1）知，椭圆C：x24+y23=1，a=2.

因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.

將x=1代入圆F2的方程（x-1） 2+y2=16，解得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A（1，4）.

又F1（-1，0），所以直线AF1：y=2x+2.

由y=2x+2，（x-1）2+y2=16，得5x2+6x-11=0.

解得x1=1或x2=-115.

将x2=-115代入y=2x+2，得y=-125.

因此B（-115，-125）.

又因为F2（1，0），所以直线BF2：y=34（x-1）.

由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0.

解得x1=-1或x2=137.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x=-1.将x=-1代入y=34（x-1），解得y=-32.

因此E（-1，-32）.

解法2 （平面几何法1）由（1）知，椭圆C：x24+y23=1，如图2，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB.

从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E，从而EF1//F2A.

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

因为F1（-1，0），由x=-1，x24+y23=1，解得y=±32.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y=-32.因此E（-1，-32）.

解法3 （平面几何法2）由（1）知，椭圆C：x24+y23=1，如图2，连结EF1.

因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB.

从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E，从而EF1//F2A.

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

同理DF1//BF2，所以四边形DF1EF2是平行四边形，从而EF1=DF2=32.

因此E（-1，-32）.

解法4 （斜率转化法）由（1）中的解法2，知F1（-1，0），D（1，32）.

因为DF1//BF2，所以kBF2=kDF1=32-01+1=34.

所以直线BF2：y=34（x-1）.

由y=34（x-1），x24+y23=1，得7x2-6x-13=0.

解得x1=-1或x2=137.

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以x=-1.将x=-1代入y=34（x-1），解得y=-32.

因此E（-1，-32）.

评注 結合题目条件，通过圆与椭圆的位置关系，借助坐标法或几何法进行处理，可以从解析几何角度来切入，通过求解相关直线的方程以及直线与圆、直线与椭圆的位置关系进行确定相关的交点，或通过平面几何的合理转化，利用斜率关系进行处理与应用;也可以从平面几何角度来切入，通过角与直线的位置关系的转化，从平面几何角度来确定相关线段的长度，得以确定相关的交点坐标.

3  解后反思

新课标高考中，对圆与圆锥曲线的位置关系的考查，可以出现在选择题或填空题中，也可以出现在解答题中.在选择题或填空题中，利用圆与圆锥曲线的位置关系，提高问题的复杂性，适当提升问题的难度;而在解答题中，利用圆与圆锥曲线的位置关系，可以适当降低对圆锥曲线考查的难度，同时也提高了对圆的方程与基本性质等相关知识点的要求.结合圆与圆锥曲线的位置关系的设置与考查，也是高考命题者比较热衷的考题之一，其问题变化多端，亮点多，创新强，是常考常新的一类问题.

参考文献：

[1]2019年高考江苏省数学卷试题及参考答案[J].中学数学月刊，2019（07）：61-66.

（收稿日期：2019-09-05）